𝑀
𝑟
=
4π
𝑟
∫
0
ρ𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.3)
Подставляя (35.2) в (35.1), получаем
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=-
𝐺
𝑀𝑟
𝑟²
ρ
.
(35.4)
Вводя сюда выражение для 𝑀𝑟 приходим к уравнению механического равновесия в виде
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
4π
𝐺ρ
.
(35.5)
Уравнение (35.5) является одним из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд.
В уравнение (35.5) входят две неизвестные величины: давление 𝑃 и плотность ρ. Как уже говорилось, на первом этапе развития теории принималось, что эти величины связаны между собой зависимостью
𝑃
=
𝐶
ρ
𝑘
,
(35.6)
где 𝐶 и 𝑘 — постоянные. Такая зависимость между 𝑃 и ρ называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.
При помощи (35.6) находим
1
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=
𝐶𝑘
𝑘-1
𝑑ρ𝑘-1
𝑑𝑟
.
(35.7)
Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение
ρ
𝑘-1
=
𝑢
,
(35.8)
получаем
𝐶(1+𝑛)
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
𝑑𝑢
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
4π
𝐺𝑢
𝑛
,
(35.9)
где 𝑛=1/(𝑘-1). Величина 𝑛 называется политропным индексом.
Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция 𝑢(𝑟), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим
𝑢
=
𝑢₀𝑦
,
𝑥
=
λ𝑟
(35.10)
и будем считать, что 𝑢₀ есть значение 𝑢 в центре звезды (при 𝑟=0). Что же касается величины λ, то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения λ получаем соотношение
𝐶(1+𝑛)
λ²
=
4π
𝐺𝑢₀
𝑛-1
,
(35.11)
а уравнение (35.9) принимает вид
1
𝑥²
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑥²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
=-
𝑦
𝑛
.
(35.12)
Очевидно, что функция 𝑦(𝑥) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:
𝑦=1,
𝑦'=0,
при
𝑥=0.
(35.13)
Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (𝑛=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид
𝑦
=
1
-
𝑥²
6
при
𝑛=0,
(35.14)
𝑦
=
sin 𝑥
𝑥
при
𝑛=1,
(35.15)
𝑦
=
1
(1+𝑥²/3)¹/²
при
𝑛=5.
(35.16)
Для других значений 𝑛 уравнение (35.12) при граничных условиях (35.13) было решено численно. В астрофизической литературе (например, в [1]) даны подробные таблицы решений уравнения Эмдена.
2. Плотность, давление и температура внутри звезды.
Если считать звезду политропным шаром с заданным политропным индексом 𝑛, то, пользуясь соответствующим решением уравнения Эмдена, можно легко найти распределение плотности, давления и температуры внутри звезды.
На основании формул (35.8) и (35.10) имеем
ρ(𝑟)
=
𝑢₀
𝑛
𝑦
𝑛
(λ𝑟)
.
(35.17)
Следовательно, для нахождения функции ρ(𝑟) надо знать постоянные 𝑢₀ и λ. Для их определения воспользуемся условиями на границе звезды.
Обозначим через 𝑥₁ значение 𝑥 при 𝑥=𝑅. Величина 𝑥₁ находится из того условия, что на поверхности звезды функция 𝑦(𝑥) обращается в нуль, т.е. 𝑦(𝑥₁)=0 Применяя к поверхности звезды вторую из формул (35.10), получаем
𝑥₁
=
λ𝑅
.
(35.18)
Напишем, далее, для границы звезды уравнение гидростатического равновесия. Из уравнений (35.1) и (35.2) следует
⎛
⎜
⎝
1
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠𝑟=𝑅
=-
𝐺
𝑀
𝑅²
.
(35.19)
где 𝑀 — масса звезды. Пользуясь формулами (35.7), (35.8) и (35.10), вместо (35.19) находим
𝐶(1+𝑛)
𝑢₀λ
𝑦'(𝑥₁)
=-
𝐺
𝑀
𝑅²
.
(35.20)
Подставляя в (35.20) выражение для 𝐶 из (35.11) и выражение для λ из (35.18), получаем
𝑢₀
𝑛
=-
𝑥₁𝑀
4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)
.
(35.21)
Таким образом, искомые величины λ и 𝑢₀ даются формулами (35.18) и (35.21). После их определения, как уже сказано, по формуле (35.17) может быть найдена плотность в любом месте звезды.
Очевидно, что величина 𝑢₀𝑛 представляет собой плотность в центре звезды, т.е. ρ𝑐=𝑢₀𝑛. Обозначая через ρ среднюю плотность звезды, имеем
ρ
=
𝑀
.
4
π𝑅³
3
(35.22)
Поэтому формулу (35.21) можно переписать в виде
ρ
𝑐
=-
𝑥₁
3𝑦'(𝑥₁)
ρ
.
(35.23)
В таблице 55, взятой из книги Чандрасекара [3], даны значения величин 𝑥₁ 𝑥₁²𝑦'(𝑥₁) и ρ𝑐/ρ для разных значений политропного индекса 𝑛.
Таблица 5
Зависимость некоторых параметров звезды
от политропного индекса
𝑛
0
1
2
3
4
5
𝑥₁
2,45
3,14
4
,35
6
,90
15
,0
𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)
4,90
3,14
2
,41
2
,02
1
,80
1,73
ρ
𝑐
/
ρ
1,00
3,29
11
,4
54
,2
622
При помощи табл. 55 найдём в виде примера плотность в центре Солнца, принимая 𝑛=3. Так как средняя плотность Солнца равна ρ=1,41 г/см³, то для плотности в центре получаем ρ𝑐=54,2ρ=76,5 г/см³.