Давление внутри звезды может быть найдено по формуле (35.6), для чего следует определить величину 𝐶, которая считается постоянной в звезде, но заранее не известной. При помощи формул (35.11), (35.18) и (35.21) имеем
𝐶
=
4π𝐺
1+𝑛
𝑅²
𝑥₁²
⎡
⎢
⎣
𝑥₁𝑀
4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)
⎤(𝑛-1)/𝑛
⎥
⎦
(35.24)
Для давления в центре звезды находим
𝑃
𝑐
=
𝐺
4π(1+𝑛)
⎡
⎢
⎣
𝑀
𝑅³𝑦'(𝑥₁)
⎤²
⎥
⎦
.
(35.25)
Чтобы найти температуру внутри звезды, надо задать уравнение состояния звёздного вещества, связывающее между собой температуру, плотность и давление. Мы примем, что звезда состоит из идеального газа. В таком случае в качестве уравнения состояния имеем
𝑃
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
,
(35.26)
где 𝑅∗ — газовая постоянная и μ —средняя молекулярная масса.
Из уравнения (35.26) при помощи соотношений (35.6) и (35.8) для температуры 𝑇 находим
𝑇
=
μ
𝑅∗
𝐶𝑢
.
(35.27)
Таким образом, температура оказывается пропорциональной введённой выше величине 𝑢.
Легко получить, что в центре звезды температура равна
𝑇
𝑐
=-
μ𝐺
(1+𝑛)𝑅∗𝑥₁𝑦'(𝑥₁)
𝑀
𝑇
.
(35.28)
Для Солнца при 𝑛=3 по формуле (35.28) находим: 𝑇𝑐=2⋅10⁷ кельвинов (если считать, что μ=1). Разумеется, эта оценка 𝑇𝑐, как и сделанная выше оценка 𝑝𝑐, является весьма грубой. Однако, как увидим дальше, и более правильные модели звёзд, рассчитанные без предположения о политропной зависимости между давлением и плотностью, приводят к таким же по порядку результатам.
3. Гравитационная энергия звезды.
Для звезды, представляющей собой политропный шар, может быть получена очень простая формула, определяющая гравитационную энергию. Мы обозначим гравитационную энергию звезды через 𝐸. Эта величина отрицательна и численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить все слои звезды в бесконечность, т.е.
𝐸
=-
𝐺
∫
𝑀𝑟
𝑟
𝑑𝑀
𝑟
,
(35.29)
где интегрирование распространено на всю звезду.
Формулу (35.29) можно переписать в виде
𝐸
=-
𝐺
2
∫
𝑑𝑀𝑟²
𝑟
=-
𝐺𝑀²
2𝑅
-
𝐺
2
∫
𝑀
𝑟
²
𝑑𝑟
𝑟²
.
(35.30)
На основании соотношений (35.4) и (35.7) получаем
𝐺
∫
𝑀
𝑟
²
𝑑𝑟
𝑟²
=-
∫
𝑀𝑟
ρ
𝑑𝑃
=-
𝐶𝑘
𝑘-1
∫
𝑀
𝑟
𝑑ρ
𝑘-1
.
(35.31)
Производя здесь интегрирование по частям и пользуясь формулами (35.3) и (35.6), находим
𝐺
∫
𝑀
𝑟
²
𝑑𝑟
𝑟²
=-
4π
𝐶𝑘
𝑘-1
∫
ρ
𝑘
𝑟²
𝑑𝑟
=
4π
𝑘
𝑘-1
∫
𝑃𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.32)
Подстановка (35.32) в (35.30) даёт
𝐸
=-
𝐺𝑀²
2𝑅
-
2π
𝑘
𝑘-1
∫
𝑃𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.33)
С другой стороны, формулу (35.29) можно преобразовать так:
𝐸
=
∫
𝑟
ρ
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑑𝑀
𝑟
=
4π
∫
𝑟³
𝑑𝑃
=-
12π
∫
𝑃
𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.34)
Из (35.33) и (35.34) следует
𝐸
=-
𝐺𝑀²
2𝑅
+
𝑘
6(𝑘-1)
𝐸
,
(35.35)
откуда имеем
𝐸
=-
3
5-𝑛
𝐺𝑀²
𝑅
.
(35.36)
Этой формулой и определяется гравитационная энергия звезды при политропном индексе 𝑛.
Как видно из формулы (35.36), энергия 𝐸 отрицательна лишь при 𝑛<5. Исследование уравнения Эмдена показывает, что при 𝑛≥5 политропные шары имеют бесконечно большие радиусы.
Необходимо отметить, что гравитационная энергия звезды связана простым соотношением с её тепловой энергией. С целью получения этого соотношения обратимся к формуле (35.34) для гравитационной энергии звезды 𝐸. Эта формула была выведена непосредственно из уравнения механического равновесия (подчеркнём, что без предположения о звезде как политропном шаре). С другой стороны, тепловая энергия звезды, которую мы обозначим через 𝑄, даётся очевидной формулой
𝑄
=
6π
𝑅
∫
0
𝑃
𝑟²
𝑑𝑟
,
(35.37)
где ³/₂𝑃 — тепловая энергия единицы объёма. Сравнивая между собой формулы (35.34) и (35.37), имеем
𝐸
+
2𝑄
=
0
.
(35.38)
Соотношение (35.38) представляет собой частный случай теоремы вириала, утверждающей, что в стационарной гравитирующей системе потенциальная энергия равна по абсолютной величине удвоенной кинетической энергии. В астрономии эта теорема часто применяется к звёздным системам. В рассматриваемом случае одиночной звезды под кинетической энергией звезды понимается её тепловая энергия.
С помощью теоремы вириала можно легко получить оценку температуры внутри звезды. Гравитационная энергия звезды, на основании формулы (35.29), может быть записана в виде
𝐸
=-
γ
𝐺𝑀²
𝑅
,
(35.39)
где γ — безразмерный множитель, зависящий от структуры звезды. Тепловая же энергия звезды может быть представлена формулой
𝑄
=
3
2
𝑘
𝑇
𝑀
μ𝑚𝙷
(35.40)
где 𝑀/μ𝑚𝙷 — число частиц в звезде и 𝑇 — её средняя температура. Подстановка двух последних выражений в соотношение (35.38) даёт
𝑇
=
γμ𝑚𝙷
3𝑘
𝐺𝑀
𝑅
.
(35.41)
Применяя формулу (35.41) к Солнцу, находим 𝑇≈8⋅10⁶γμ. Если в качестве примера принять γ=³/₂ и μ=1, то будем иметь 𝑇≈1,2⋅10⁷ кельвинов. Таким образом, самые простые оценки показывают, что температуры внутри звёзд очень высоки.
Как уже сказано, энергию, равную 𝐸, нужно затратить, чтобы рассеять звезду в пространстве. Однако эта энергия должна выделиться, если туманность сжимается до состояния звезды. Согласно теореме вириала, половина выделившейся при сжатии энергии идёт на нагревание звезды. Другая же половина расходуется звездой на излучение.