Раньше считали, что звёзды возникают из туманностей и свечение звезды в течение всей её жизни происходит за счёт гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии. Однако потом выяснилось, что гравитационной энергии недостаточно для этого.
Рассмотрим для примера опять Солнце. Принимая 𝑛=3, по формуле (35.36) находим, что гравитационная энергия Солнца равна 𝐸=-6⋅10⁴⁸ эрг. Светимость Солнца составляет 4⋅10³³ эрг/с. Поэтому за счёт гравитационной энергии (точнее её половины) Солнце могло излучать при постоянной светимости не более 2,5⋅10⁷ лет. По данным же геологии Земля существует не менее 2⋅10⁹ лет, причём светимость Солнца за это время существенно не менялась. Следовательно, Солнце обладает гораздо более мощными источниками энергии по сравнению с его гравитационной энергией.
Однако для некоторых звёзд гравитационная энергия, выделяющаяся при сжатии, может быть существенным источником их свечения. К таким звёздам относятся белые карлики, не достигшие ещё полного вырождения, т.е. имеющие ещё способность сжиматься. Как известно, массы белых карликов по порядку равны массе Солнца, а их радиусы составляют несколько сотых радиуса Солнца. Поэтому гравитационная энергия белого карлика будет порядка 10⁵⁰ эрг. Светимость же белых карликов примерно в сто раз меньше светимости Солнца, т.е. порядка 10³² эрг/с. Из сопоставления этих цифр следует, что в случае сжатия белого карлика должна выделяться энергия, которая может обеспечить его свечение в течение весьма длительного времени. Разумеется, этим не решается вопрос о действительных источниках энергии белых карликов.
4. Уравнение энергетического равновесия.
Выше было получено одно из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд — уравнение механического равновесия (35.5). Теперь мы напишем второе основное уравнение этой теории — уравнение энергетического равновесия звезды. Оно должно выражать собой то условие, что количество энергии, вырабатываемое в каком-либо элементарном объёме звезды, равно количеству энергии, которое из этого объёма выходит.
Пусть ε — количество энергии, вырабатываемое одним граммом звёздного вещества, и 𝐿𝑟 — количество энергии, вырабатываемое внутри сферы радиуса 𝑟 за 1 с. Мы имеем
𝐿
𝑟
=
4π
∫
0
ερ
𝑟²
𝑑𝑟
.
(35.42)
Обозначим через 𝐻𝑟 поток энергии в радиальном направлении на расстоянии 𝑟 от центра звезды. На основании упомянутого условия получаем
4π
𝑟²
𝐻
𝑟
=
𝐿
𝑟
.
(35.43)
Выражение для величины 𝐻𝑟 определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).
Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
=-
ϰρ
𝑐
𝐻
𝑟
,
(35.44)
где 𝑃𝑅 —давление излучения, ϰ — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и 𝑐 — скорость света.
Из (35.43) и (35.44) следует
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
=-
ϰρ
𝑐
𝐿𝑟
𝑟
.
(35.45)
Подставляя (35.42) в (35.45), имеем
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟²
ϰρ
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
ε
𝑐
ρ
.
(35.46)
Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.
При получении уравнения механического равновесия мы понимали под 𝑃 газовое давление. В дальнейшем будем понимать под 𝑃 сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать
𝑃
=
𝑃
𝐺
+
𝑃
𝑅
,
(35.47)
где
𝑃
𝐺
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
(35.48)
и
𝑃
𝑅
=
1
3
𝑎𝑇⁴
.
(35.49)
Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от 𝑟: плотности ρ и температуры 𝑇. Входящие в эти уравнения величины ε, ϰ и μ должны считаться известными функциями от ρ и 𝑇.
5. Стандартная модель звезды.
До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина ε не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.
В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑃
=
ϰ𝐿𝑟
4π𝑐𝐺𝑀𝑟
.
(35.50)
Введём обозначение
𝐿𝑟
𝑀𝑟
=
η
𝐿
𝑀
.
(35.51)
Подставляя (35.51) в (35.50), имеем
𝑑𝑃𝑅
𝑑𝑃
=
ϰη
4π𝑐𝐺
𝐿
𝑀
.
(35.52)
Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды
ϰη
=
const
.
(35.53)
При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив
ϰη
4π𝑐𝐺
𝐿
𝑀
=
1-β
.
(35.54)
из (35.47) находим
𝑃
𝑅
=
(1-β)
𝑃
,
(35.55)
а значит,
𝑃
𝐺
=
β𝑃
.
(35.56)
Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.
Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует
(1-β)
𝑃
=
1
3
𝑎𝑇⁴
,
β𝑃
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
.
(35.57)
Исключая из этих соотношений 𝑇, получаем
𝑃
=
𝐶ρ⁴
/
³
,
(35.58)
где
𝐶
=
⎡
⎢
⎣
3(1-β)𝑅∗⁴