αβ⁴μ⁴
⎤¹/₃
⎥
⎦
.
(35.59)
Если считать, что средний молекулярный вес μ постоянен в звезде, то величина 𝐶 также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между 𝑃 и ρ при 𝑘=⁴/₃. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром 𝑛=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при 𝑛=3 соответствуют стандартной модели.
Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная 𝐶 в зависимости от 𝑀, 𝑅 и 𝑛. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для 𝐶, даваемые формулой (35.24) при 𝑛=3 и формулой (35.59), получаем, что величина β определяется уравнением
1-β
=
𝐶₁
μ⁴
𝑀²
β⁴
,
(35.60)
где
𝐶₁
=
π𝐺³𝑎
48𝑅∗⁴[𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)]²
.
(35.61)
Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1-β растёт вместе с массой звезды (β=1, когда 𝑀=0, и β=0, когда 𝑀=∞).
Таблица 56
Характеристики звёзд
согласно «стандартной модели»
Звезда
𝑀/𝑀
☉
𝑅/𝑅
☉
𝐿/𝐿
☉
1-β
ρ
𝑐
𝑇
𝑐
Солнце
1,00
1
,00
1
,00
0,003
76
,5
20
⋅
10
⁶
Сириус А
2,34
1
,78
38
,9
0,016
31
,7
26
⋅
10
⁶
Капелла А
4,18
15
,9
120
0,045
0
,080
5
⋅
10
⁶
В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения 𝑀, 𝐿, 𝑅 и было принято μ=1.
Эддингтон, основываясь на своей модели звезды, сделал заключение о существовании зависимости между массами и светимостями звёзд. Его рассуждение (в несколько изменённом виде) было следующим. Рассмотрим соотношения (35.54) и (35.60). Исключая из них величину β, мы приходим к зависимости между величинами 𝑀, 𝐿, ϰη и μ. Будем считать, что величины ϰη и μ одинаковы для всех звёзд. Тогда получается зависимость между 𝑀 и 𝐿. При этом при малых 𝑀, (т.е. при значениях β, близких к 1) соотношения (35.54) и (35.60) дают
𝐿
~
𝑀³
,
(35.62)
а при больших 𝑀 (т.е, при малых значениях β) из (35.49) следует
𝐿
~
𝑀
,
(35.63)
Эддингтон сопоставил свои теоретические выводы с наблюдательными данными о массах и светимостях звёзд и получил согласие между ними. Разумеется, это согласие нельзя считать подтверждением рассматриваемой теории, так как при её построении был сделан ряд необоснованных предположений (главным из которых является предположение о постоянстве ϰη внутри звезды). Однако интересно то, что при этих исследованиях Эддингтон впервые получил зависимость между массами и светимостями звёзд из наблюдательных данных. Как известно, эта зависимость является одним из фундаментальных соотношений звёздной астрономии.
§ 36. Физические процессы внутри звёзд
1. Уравнение состояния звёздного вещества.
В предыдущем параграфе были в общих чертах выяснены физические условия в звёздных недрах (т.е. оценены значения плотности, температуры и давления). Теперь мы перейдём к рассмотрению физических процессов, идущих при таких условиях. Это позволит нам, в частности, получить выражения для тех параметров, которые входят в основные уравнения теории внутреннего строения звёзд.
Из приведённых выше результатов [например, из формулы (35.27)] следует, что с углублением в звезду происходит значительное увеличение температуры. Этим обусловлена сильная ионизация атомов внутри звезды. Как известно (см. § 13), отношение числа ионизованных атомов 𝑛⁺ к числу нейтральных атомов 𝑛₁ даётся следующей формулой:
𝑛
𝑒
𝑛⁺
𝑛₁
=
𝑔⁺
𝑔₁
2(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
ℎ³
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
,
(36.1)
где χ₁ — энергия ионизации из основного состояния. Аналогичной формулой определяется и отношение числа 𝑠 раз ионизованных атомов к числу 𝑠-1 раз ионизованных атомов. Из формулы (36.1) видно, что степень ионизации существенно зависит от отношения χ₁/𝑘𝑇 и, грубо говоря, атомы переходят в следующую стадию ионизации, когда это отношение становится порядка единицы. Поэтому лёгкие атомы, обладающие небольшими энергиями отрыва последнего электрона (в частности, водород и гелий), оказываются полностью ионизованными уже в поверхностных слоях звезды. А от тяжёлых атомов по мере проникновения в глубь звезды отрывается все большее и большее число электронов.
Таким образом, газ внутри звезды (представляющий собой высокотемпературную плазму) состоит из большого числа свободных электронов, из «голых» ядер лёгких атомов и из тяжёлых атомов, лишённых значительной части своих электронных оболочек. Такой состав газа внутри звезды следует принимать во внимание при написании уравнения состояния газа и, в частности, при определении его среднего молекулярного веса.
При рассмотрении звёздных атмосфер в качестве уравнения состояния вещества мы брали уравнение состояния обычного идеального газа. Можно было бы думать, что при углублении внутрь звезды газ перестаёт быть идеальным вследствие сильного возрастания его плотности. Однако в действительности почти полная ионизация атомов внутри звезды приводит к резкому уменьшению размеров частиц (от размеров атомов порядка 10⁻⁸ см до размеров ядер порядка 10⁻¹³ см). Благодаря этому и внутри звезды газ остаётся идеальным, т.е. уравнение состояния газа мы можем записать в виде
𝑃
=
𝑛
𝑘𝑇
,
(36.2)
где 𝑛 — число частиц в 1 см³. Переходя здесь от концентрации 𝑛 к плотности ρ при помощи соотношения
𝑛
=
ρ
μ𝑚𝙷
,
(36.3)
где μ — средняя молекулярная масса и 𝑚𝙷 — масса атома водорода, вместо (36.2) получаем
𝑃
=
𝑘
μ𝑚𝙷
ρ𝑇
,
(36.4)
т.е. уравнение, совпадающее с ранее использовавшимся уравнением (35.26) (так как 𝑅∗=𝑘/μ𝑚𝙷).
Величина μ, входящая в уравнение состояния (36.4), имеет важное значение для теории внутреннего строения звёзд. Найдём эту величину, пользуясь формулой (36.3) и имея в виду, что плотность ρ определяется в основном атомами, а концентрация 𝑛 — как атомами, так и свободными электронами. В качестве первого приближения все атомы внутри звезды будем считать полностью ионизованными.