3⁴𝙷𝚎
→
¹²𝙲+γ
.
Выделяющаяся при этой реакции энергия определяется формулой
ε
=
10⁻⁸
ρ²
𝑌³
⎛
⎜
⎝
𝑇
10⁸
⎞³⁰
⎟
⎠
,
(36.46)
где 𝑌 — весовая доля гелия.
Приведённые формулы для величины ε имеют большое значение для астрофизики, так как ядерные реакции являются главным источником энергии звёзд.
Необходимо также отметить, что в ходе ядерных реакций одни атомные ядра превращаются в другие ядра, т.е. происходит синтез химических элементов (нуклеосинтез). С примерами таких процессов мы уже встречались выше: водород превращается в гелий, а гелий — в углерод. При температурах порядка 10⁸ градусов в звёздах происходит также синтез и более сложных атомов при реакциях:
¹²𝙲+⁴𝙷𝚎
→
¹⁶𝙾+γ,
¹⁶𝙾+⁴𝙷𝚎
→
²⁰𝙽𝚎+γ,
²⁰𝙽𝚎+⁴𝙷𝚎
→
²⁴𝙼𝚐+γ.
При более высоких температурах идут также реакции между ядрами тяжёлых элементов, например,
¹²𝙲+¹²𝙲
→
²³𝙽𝚊+¹𝙷,
¹⁶𝙾+¹⁶𝙾
→
³²𝚂+γ.
В ядерной физике определены эффективные поперечные сечении для многих реакций, идущих в звёздах. Процессами нуклеосинтеза объясняется химический состав не только звёзд, но и межзвёздной среды (так как большое количество вещества выбрасывается из звёзд в межзвёздное пространство).
§ 37. Строение и эволюция звёзд
1. Основные уравнения.
В § 35 были написаны основные уравнения теории внутреннего строения звёзд — уравнения (35.5) и (35.46). Первое из них выражает условие механического равновесия звезды, второе — условие энергетического равновесия. Далее было выяснено, как зависят входящие в эти уравнения параметры от физических условий внутри звезды. Это даёт возможность получить решения указанных уравнений без каких-либо дополнительных предположений, характерных для первого этапа построения теории.
Основные уравнения теории внутреннего строения звёзд можно записать в виде следующей системы уравнений:
𝑑𝑃
𝑑𝑟
=-
𝐺𝑀𝑟
𝑟²
ρ
,
(37.1)
𝑑𝑀𝑟
𝑑𝑟
=
4π
𝑟²
ρ
,
(37.2)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
3
4𝑎𝑐
ϰρ
𝑇³
𝐿𝑟
4π𝑟²
,
(37.3)
𝑑𝐿𝑟
𝑑𝑟
=
4π
𝑟²
ερ
.
(37.4)
Очевидно, что подстановка (37.2) в (37.1) даёт уравнение (35.5), а подстановка (37.4) в (37.3) — уравнение (35.46).
Входящее в уравнение (37.1) давление 𝑃 является суммой газового и светового давлений. Посредством уравнения состояния газа и закона Стефана — Больцмана давление 𝑃 выражается через температуру 𝑇, плотность ρ и средний молекулярный вес μ. В свою очередь величина μ определяется заданием химического состава. Формулой (36.10) она выражается через весовую долю водорода 𝑋 и весовую долю гелия 𝑌.
Средний коэффициент поглощения ϰ и количество вырабатываемой энергии ε также выражаются через ρ, 𝑇, 𝑋 и 𝑌. Соответствующие формулы были даны в предыдущем параграфе.
Таким образом, приведённая выше система четырёх уравнений (37.1) — (37.4) служит для определения четырёх неизвестных функций: 𝑀𝑟, 𝐿𝑟, ρ и 𝑇. Входящие в эту систему величины 𝑋 и 𝑌 считаются заданными.
К указанной системе уравнений следует ещё добавить граничные условия. В центре звезды мы, очевидно, имеем
𝑀
𝑟
=
0,
𝐿
𝑟
=
0
при
𝑟
=
0,
(37.5)
а на границе звезды
ρ
=
0,
𝑇
=
0
при
𝑟
=
𝑅.
(37.6)
Необходимо, однако, иметь в виду, что некоторые формулы, справедливые для внутренних слоёв звезды (в частности, выражения для ϰ и μ), неприменимы к поверхностным слоям. Объясняется это тем, что при выводе этих формул делалось предположение о сильной ионизации газа, в то время как в поверхностных слоях степень ионизации мала. Поэтому применение приведённых выше уравнений вместе с граничными условиями (37.6) ко всей звезде может приводить к ненадёжным результатам. Более правильный путь решения задачи состоит в определении структуры поверхностных слоёв на основании теории фотосфер и в решении приведённых уравнений при «граничных условиях», вытекающих из данных о строении фотосферы.
Система уравнений (37.1) — (37.4) при указанных граничных условиях и при заданных значениях 𝑋 и 𝑌 полностью определяет структуру звезды. В результате решения этой системы находятся и значения величин 𝑀𝑟 и 𝐿𝑟 при 𝑟=𝑅, т.е. масса звезды 𝑀 и светимость 𝐿. На самом деле для каждой звезды значения 𝑀 и 𝐿 являются заданными. Поэтому задача об определении структуры звезды состоит не только в решении приведённой системы, но и в подборе подходящих значений 𝑋 и 𝑌.
Однако внутри звезды могут существовать большие различия в химическом составе, а значит, и в величинах 𝑋 и 𝑌. Вследствие этого задача о нахождении структуры звезды не является определённой. Причиной различий в химическом составе на разных глубинах в звезде является изменение скорости ядерных реакций при переходе от одного места звезды к другому: эта скорость тем больше, чем больше ρ и 𝑇. Поэтому внутри звёзд могут существовать области, в которых водород полностью или частично «выгорел». Все это принимается во внимание при построении теоретических моделей звёзд. Следовательно, теория внутреннего строения звёзд, неотделима от проблемы эволюции звёзд.
2. Методы расчёта звёздных моделей.
Выше мы видели, что решение проблемы внутреннего строения звёзд сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (37.1) — (37.4) при граничных условиях (37.5) и (37.6). Это интегрирование выполняется численно с помощью электронных вычислительных машин. В результате получаются теоретические модели звёзд. Сейчас мы кратко опишем некоторые методы, применяемые при расчётах звёздных моделей.
Интегрирование указанных уравнений можно начать от центра звезды. Так как при 𝑟=0 известны значения только двух искомых функций (𝑀𝑟=0 и 𝐿𝑟=0), то в этой точке мы должны задать также значения давления и температуры. При малых 𝑟 решение рассматриваемых уравнений можно получить в виде ряда. Ограничиваясь членами порядка 𝑟³, имеем
𝑀
𝑟
=
4
3
πρ
𝑐
𝑟³
,
(37.7)
𝐿
𝑟
=
4
3
πρ
𝑐
ε
𝑐
𝑟³
,