(37.8)
𝑃
=
𝑃
𝑐
-
2
3
π𝐺
ρ
𝑐
²
𝑟²
,
(37.9)
𝑇
=
𝑇
𝑐
-
ϰ𝑐ε𝑐ρ𝑐²
8𝑎𝑐𝑇𝑐
𝑟²
,
(37.10)
где индексом 𝑐 отмечены величины в центре звезды. Для перехода от малых 𝑟 к большим следует применить численное интегрирование уравнений. Оно заканчивается тогда, когда плотность и температура достигают своих значений на поверхности звезды (ρ=0 и 𝑇=0). При этом получаются определённые значения для массы звезды 𝑀, её светимости 𝐿 и радиуса 𝑅. Однако такая модель может сильно отличаться от реальных звёзд, т.е. не удовлетворять соотношениям «масса — светимость» и «спектр — светимость». Чтобы устранить расхождение, надо пытаться подобрать более подходящие значения 𝑃𝑐 и 𝑇𝑐. Если и это не приведёт к цели, то должен быть изменён принятый химический состав.
Интегрирование системы уравнений (37.1) — (37.4) можно начать также от поверхности звезды. Для внешних слоёв звезды, как и для её центральной области, может быть получено решение в аналитической форме. Оно основывается на том, что во внешних слоях отсутствуют источники энергии и в них содержится лишь очень небольшая доля массы звезды. Поэтому можно считать, что в этих слоях 𝑀𝑟=𝑀 и 𝐿𝑟=𝐿. Следовательно, нам надо определить только изменение с 𝑟 температуры и давления.
Разделив (37.1) на (37.3) и пользуясь постоянством массы и светимости, находим
𝑑𝑃
𝑑𝑇
=
16π𝐺 𝑎𝑐 𝑀
3ϰ𝐿
𝑇³
.
(37.11)
Входящий сюда коэффициент поглощения ϰ на основании (36.37) и (36.38) может быть представлен в виде
ϰ
=
ϰ₀
ρ
𝑇⁷/²
,
(37.12)
где ϰ₀=const. Подставляя (37.12) в (37.11), применяя уравнение состояния (36.4) и производя интегрирование, получаем
𝑃²
=
64π𝐺 𝑀𝑎𝑐 𝑅∗
51ϰ₀ μ𝐿
𝑇¹⁷
/
²
.
(37.13)
Формула (37.13) связывает давление с температурой. Чтобы получить зависимость температуры от глубины, надо в уравнение (37.3) подставить выражения (37.12), (37.13) и (36.4). Делая это и интегрируя, находим
𝑇
=
4𝐺𝑀μ
17𝑅∗
⎛
⎜
⎝
1
𝑅
-
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
.
(37.14)
При переходе от внешних слоёв звезды к внутренним путём численного интегрирования уравнений (37.1) — (37.4) определяется структура звезды и, в частности, находятся значения плотности и температуры в её центре (т.е. величины ρ𝑐 и 𝑇𝑐). Однако при таком интегрировании на некоторой глубине мы можем встретиться с условиями, которые потребуют изменения исходных уравнений. Примером может служить быстрое увеличение плотности, приводящее к вырождению газа. В этом случае уравнение (36.4) надо заменить уравнениями состояния вырожденного газа, приведёнными в предыдущем параграфе. В качестве другого примера укажем наступление конвекции, вызванное быстрым нарастанием температуры. Вследствие этого вместо радиативного переноса энергии следует рассматривать перенос энергии конвекцией. Отметим ещё, что на некоторой глубине может оказаться исчерпанной вся заданная масса звезды. В таком случае необходимо изменить принятый химический состав. Изменения в химическом составе надо сделать и тогда, когда при достижении центра звезды мы ещё не исчерпали всю массу или светимость.
Для звёзд сложной структуры интегрирование рассматриваемых уравнений от поверхности оказывается более удобным, чем от центра. Однако на практике при расчёте одной и той же модели интегрирование обычно ведут и от поверхности, и от центра, а затеи на определённой глубине оба решения «сшивают» (т.е. добиваются непрерывности на этой глубине всех искомых функций).
Для решения уравнений (37.1) — (37.4), кроме описанного «метода сшивания», был также предложен «разностный метод», нашедший довольно широкое применение. В этом методе весь промежуток интегрирования делят на большое число мелких интервалов и искомыми величинами считаются значения неизвестных функций в точках деления. Входящие же в исходные уравнения дифференциалы заменяются соответствующими разностями. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка. Для удобства вычислений в качестве независимой переменной вместо 𝑟 используют массу, заключённую в сфере радиуса 𝑟, а также делают другие преобразования переменных. Применение разностного метода требует мощных электронных вычислительных машин.
Построение модели данной звезды связано с неопределённостью, вызванной некоторым произволом в выборе химического состава. Поэтому при вычислении моделей принимается во внимание вероятный эволюционный путь звезды. При этом обычно считается, что в начальном состоянии звезда имеет однородный химический состав с большим содержанием водорода, а затем количество водорода уменьшается при ядерных реакциях. В общем виде уменьшение величины 𝑋 с течением времени можно записать так:
∂𝑋
∂𝑡
=
𝑓(ρ,𝑇,𝑋)
,
(37.15)
С уменьшением величины 𝑋 меняются и величины μ, ϰ, ε. Это приводит к изменению структуры звёзд. После вычисления модели начального состояния звезды с принятым значением 𝑋 (для момента времени 𝑡=0) может быть вычислена модель звезды для момента времени 𝑡₁, со значениями 𝑋, полученными для каждого места звезды по формуле (37.15). Аналогично может быть рассчитана и модель звезды для следующего момента времени 𝑡₂, и т.д. Так определяется эволюционная последовательность звёздных моделей.
При указанных расчётах масса звезды считается постоянной, а светимость и радиус вычисляются. Так как рассчитано уже очень большое число звёздных моделей, то для новой модели нет необходимости выполнять всю работу с самого начала. Можно взять в качестве первого приближения уже рассчитанную модель звезды с близкими параметрами и вести вычисления методом итераций. Такой способ особенно удобен при определении эволюционного пути звезды. В этом случае при расчёте модели звезды для данного момента времени можно использовать модель, найденную для предыдущего момента. Большинство звёздных моделей рассчитано именно таким способом.
3. Модели звёзд.
Описанные выше методы расчёта звёздных моделей были применены к звёздам разных типов. Мы сейчас сообщим некоторые из полученных результатов, заимствованные преимущественно из книги М. Шварцшильда [4].
В звёздах верхней части главной последовательности основную роль в выработке энергии играет углеродный цикл. В центральных частях таких звёзд перенос энергии осуществляется конвекцией, а в наружных — лучеиспусканием. В конвективном ядре звезды заключены все источники энергии и значительная доля массы.
Таблица 57
Характеристики звёзд верхней части
главной последовательности