Определение коэффициента поглощения иона H⁻ было предметом многих исследований. На рис. 6 приведён коэффициент поглощения 𝑘ν рассчитанный на один отрицательный ион водорода, в зависимости от частоты. Эта зависимость была получена в работе Чандрасекара [4] (последующие исследования её мало изменили). Из рис. 6 следует, что в видимой части спектра коэффициент поглощения иона H⁻ меняется плавно и в сравнительно небольших пределах.
Рис. 6
Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный отрицательным ионом водорода, равен ανʹ=𝑛⁻𝑘ν, где 𝑛⁻ — число ионов H⁻ в 1 см³. Чтобы получить полный объёмный коэффициент поглощения иона H⁻, надо к этому выражению добавить ещё объёмный коэффициент поглощения ανʺ обусловленный свободно-свободными переходами электрона в поле нейтрального атома водорода (который играет роль ионизованного атома для иона H⁻). Очевидно, что коэффициент поглощения ανʺ пропорционален числу нейтральных атомов водорода и числу свободных электронов в 1 см³. Поэтому мы можем представить его в виде ανʺ=𝑛₁𝑝𝑒𝑎ν где 𝑝𝑒=𝑛𝑒𝑘𝑇 — электронное давление.
Таким образом, полный объёмный коэффициент поглощения иона H⁻ равен
α
ν
=
⎛
⎝
𝑛⁻
𝑘
ν
-
𝑛₁
𝑝
𝑒
𝑎
ν
⎞
⎠
⎧
⎪
⎩
1
-
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
⎫
⎪
⎭
,
(5.12)
где множителем 1-𝑒-ℎν/(𝑘𝑇), как и выше, учтено отрицательное поглощение.
Для вычисления коэффициента поглощения αν по формуле (5.12) необходимо найти число ионов H⁻ в 1 см³. Это можно сделать с помощью формулы ионизации (5.5), которая в данном случае принимает вид
𝑛
𝑒
𝑛₁
𝑛⁻
=
𝑔₁
𝑔⁻
2(2π𝑚𝑘𝑇)²/³
ℎ³
exp
⎛
⎜
⎝
-
χ₁
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
,
(5.13)
где 𝑔₁ и 𝑔⁻ — статистические веса основного состояния нейтрального атома водорода и отрицательного иона водорода соответственно (𝑔₁=2, 𝑔⁻=1), χ₁ —энергия ионизации иона H⁻. Подставляя 𝑛⁻ из (5.13) в (5.12), получаем
α
ν
=
𝑛₁
𝑝
𝑒
⎡
⎢
⎣
𝑘
ν
ℎ³
4(2π𝑚)³/²(𝑘𝑇)⁵/²
exp
⎛
⎜
⎝
-
χ₁
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
+
𝑎
ν
⎤
⎥
⎦
×
×
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
⎫
⎪
⎭
.
(5.14)
Результаты вычисления коэффициента поглощения αν по формуле (5.14) приведены на графике, взятом из книги Чандрасекара 14]. График даёт величину αν, отнесённую к одному нейтральному атому водорода и к единице электронного давления, в зависимости от длины волны для разных температур (рис. 7). Из вычислений, в частности, следует, что поглощение, обусловленное свободно-свободными переходами играет существенную роль только для больших длин волн (примерно для значений λ>12 000 Å).
Рис. 7
4. Рассеяние света свободными электронами.
Кроме поглощения света атомами, в переносе излучения через фотосферу некоторую роль играет также рассеяние излучения —свободными электронами (имеющее наибольшее значение), атомами и молекулами. Коэффициент рассеяния, рассчитанный на один свободный электрон, даётся формулой Томсона:
σ₀
=
8π
3
⎛
⎜
⎝
𝑒²
𝑚𝑐²
⎞²
⎟
⎠
(5.15)
где 𝑚 и 𝑒 — заряд и масса электрона, 𝑐 — скорость света. Числовое значение этого коэффициента равно σ₀=6,65×10⁻²⁵ см².
Объёмный коэффициент рассеяния свободными электронами равен
σ
𝑒
=
𝑛
𝑒
σ₀
,
(5.16)
где 𝑛𝑒 — число свободных электронов в 1 см³. Очевидно, что в формулу (5.16) не нужно вводить множитель, учитывающий отрицательное поглощение.
Пользуясь формулами (5.16) и (5.11), можно сравнить роль электронного рассеяния и роль поглощения атомами водорода. Находя с помощью указанных формул отношение σ𝑒/αν, мы видим, что оно тем больше, чем меньше плотность и чем выше температура. Поэтому роль электронного рассеяния особенно велика в фотосферах горячих сверхгигантов.
Если в элементарном объёме фотосферы происходит поглощение света и рассеяние света свободными электронами, то объёмный коэффициент излучения равен
ε
ν
=
α
ν
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
+
σ
𝑒
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
,
(5.17)
где αν — объёмный коэффициент поглощения и 𝐼ν — интенсивность падающего на объём излучения. Из формулы (5.17) ясно видно различие между поглощением и рассеянием излучения: только поглощённая энергия перерабатывается в элементарном объёме и переизлучается им согласно закону Кирхгофа — Планка (если имеет место локальное термодинамическое равновесие).
Однако электронное рассеяние все же способствует переработке излучения, так как благодаря электронному рассеянию увеличивается путь фотона в среде, а значит, и вероятность поглощения.
В формуле (5.17) приближённо принимается, что рассеяние света свободными электронами является изотропным. В действительности интенсивность излучения, рассеянного элементарным объёмом, зависит от угла γ между направлениями падающего и рассеянного излучения (а именно, пропорциональна 1+cos²γ). Отметим также, что излучение, рассеянное свободными электронами, является поляризованным.
5. Средний коэффициент поглощения.
Выше были приведены результаты определения коэффициентов поглощения для некоторых атомов. На самом деле в каждом объёме фотосферы находится смесь атомов разных химических элементов. Поэтому объёмный коэффициент поглощения зависит не только от физических условий в данном месте (т.е. от температуры и плотности), но и от химического состава. Вследствие этого ещё более усложняется зависимость объёмного коэффициента поглощения от частоты.