Между тем в изложенной в предыдущих параграфах теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты. При отказе от этого предположения теория фотосфер становится гораздо более сложной. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться результатами изложенной теории фотосфер и для того случая, когда коэффициент поглощения зависит от частоты, по крайней мере в первом приближении. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения (т.е. коэффициент поглощения, усреднённый по частоте). Его пытаются определить так, чтобы сохранилась ранее полученная зависимость температуры от оптической глубины.
Возьмём уравнение переноса излучения
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(5.18)
Умножая это уравнение на cos θ, интегрируя по всем направлениям и вынося за знак интеграла среднее значение cos²θ, равное ¹/₃, получаем
4π
3
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐻
ν
,
(5.19)
где 𝐻ν — поток излучения и 𝐼ν — средняя интенсивность излучения равная
𝐼
ν
=
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
.
(5.20)
Интегрируя (5.19) по всем частотам и вводя обозначение
α
=
∫αν𝐻ν𝑑ν
𝐻
,
(5.21)
находим
4π
3
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
𝐻
,
(5.22)
где 𝐻 — полный поток излучения в фотосфере и 𝐼 — средняя полная интенсивность излучения.
Величина α, определённая формулой (5.21), есть средний коэффициент поглощения. Вводя соответствующую ему оптическую глубину τ по формуле
τ
=
∞
∫
𝑟
α
𝑑𝑟
,
(5.23)
вместо (5.22) имеем
4π
3
𝑑𝐼ν
𝑑τ
=
𝐻
,
(5.24)
Так как поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере, то интегрирование (5.24) даёт
𝐼
=
𝐻
2π
⎛
⎜
⎝
1
+
3
2
τ
⎞
⎟
⎠
.
(5.25)
Здесь мы воспользовались граничным условием: 2π𝐼=𝐻 при τ=0.
Считая, что величина 𝐼 равна полной интенсивности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. 𝐼=σ𝑇⁴/π, и выражая полный поток излучения через эффективную температуру 𝑇𝑒 по формуле
𝐻
=
σ𝑇
4
𝑒
,
вместо (5.25) находим
𝑇⁴
=
𝑇
4
𝑒
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
τ
⎞
⎟
⎠
,
(5.26)
т.е. ранее полученную формулу (4.20).
Таким образом, определяя средний коэффициент поглощения α формулой (5.21) и пользуясь приближением Эддингтона, мы приходим к такой же зависимости между температурой и оптической глубиной, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Однако вычислить точно величину α мы не можем, так как в формулу (5.21) входит поток излучения 𝐻ν в реальной фотосфере, в которой коэффициент поглощения зависит от частоты. Поэтому средний коэффициент поглощения α приходится вычислять приближённо.
Для приближённого вычисления величины α были предложены следующие способы.
1. Будем считать, что поток излучения 𝐻ν равен потоку излучения из абсолютно чёрного тела, т.е. 𝐻ν=π𝐵ν(𝑇) где 𝐵ν(𝑇) — планковская интенсивность при температуре 𝑇. Тогда
α
=
∫αν𝐵ν(𝑇)𝑑ν
∫𝐵ν(𝑇)𝑑ν
.
(5.27)
2. Возьмём выражение для 𝐻ν, даваемое формулой (5.19). Заменяя в ней 𝐼ν на планковскую интенсивность 𝐵ν(𝑇), находим
𝐻
ν
=-
4π
3
1
αν
𝑑𝐵ν(𝑇)
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑟
.
(5.28)
Подстановка (5.28) в (5.21) даёт
α
=
∫
𝑑𝐵ν(𝑇)
𝑑𝑇
𝑑ν
⋅
⎛
⎜
⎝
1
αν
𝑑𝐵ν(𝑇)
𝑑𝑇
𝑑ν
⎞⁻¹
⎟
⎠
.
(5.29)
Формула (5.29) была предложена Росселандом [2].
3. Примем для 𝐻ν выражение, которое получается в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Обозначая поток излучения для этого случая через
𝐻
0
ν
(τ)
,
получаем
α
=
∫
α
ν
𝐻
0
ν (τ)
𝐻
(5.30)
Формулу (5.30) предложил Чандрасекар [4], табулировавший также величину
𝐻
0
ν (τ)
𝐻
.
Мы не будем сравнивать между собой различные способы вычисления величины α Отметим только, что вычисления по формулам (5.27) и (5.30) проще, чем по формуле (5.29). Это особенно заметно в случае сложного химического состава, так как в формулы (5.27) и (5.30) члены, соответствующие разным атомам, входят аддитивно. Однако формула (5.29), по-видимому, точнее.
Для примера найдём средний коэффициент поглощения по формуле (5.27) в случае, когда поглощение вызывается атомами водорода.
Пользуясь формулой (5.11) для αν и формулой (4.2) для 𝐵ν(𝑇), получаем
∞
∫
0
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
𝑛
𝑒
𝑛⁺
2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇
3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³/²
2ℎ
𝑐²
×
×
∞
∫
0
⎡
⎢
⎣
1+2
χ₁
𝑘𝑇
∞
∑
𝑖=𝑖₀
1
𝑖³
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
𝑘𝑇
⎞
⎟
⎠
𝑑ν
.
(5.31)
Здесь для простоты мы положили 𝑔𝑖ν=1 и 𝑔ν=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим
∞
∫
0
α
ν
𝐵
ν
(𝑇)
𝑑ν
=
𝑛