Таким образом, для звёзд с 𝑇𝑒≃10 000-20 000 K коэффициент поглощения обусловлен в основном водородом и может быть представлен в форме (6.11). Теория фотосфер этих звёзд была разработана Э.Р. Мустелем [6]. Вместо рассмотрения упомянутого интегрального уравнения для функции 𝑇(ζ) он предложил определять её последовательными приближениями из уравнения
𝑑𝑇
=
𝐻
,
𝑑ζ
4π
∞
∫
0
1
𝑑𝐾
ν
-
𝑑ν
Φ(ν,𝑇)
𝑑𝑇
(6.15)
где
𝐾
ν
=
∫
𝐼
ν
cos²θ
𝑑ω
4π
.
(6.16)
Уравнение (6.15) получается из (6.12) путём умножения его на cos θ/Φ(ν,𝑆) и интегрирования по всем частотам и направлениям. Величина 𝐻 есть полный поток излучения в фотосфере. Как мы знаем, 𝐻=const, что является следствием уравнения (6.14). При решении уравнения (6.15) в качестве первого приближения можно принять 𝐾ν=𝐵ν(𝑇).
Э. Р. Мустель вычислил распределение энергии в непрерывном спектре звёзд с эффективными температурами 10 500 К, 15 500 К и 20 500 К. Часть полученных им результатов приведена на рис. 8 и в табл. 1.
Рис. 8
На рис. 8 представлена для примера теоретическая кривая распределения энергии в спектре звезды класса 𝙱5(𝑇𝑒=15 000 K). Вместе с ней дана планковская кривая, соответствующая той же температуре 𝑇𝑒 (площади под кривыми одинаковы и равны σ𝑇𝑒⁴/π). Мы видим, что действительная кривая распределения энергии в спектре звезды весьма сильно отличается от планковской кривой. Особенно следует отметить большие скачки интенсивности у пределов серий. Такой же характер носят кривые распределения энергии в спектрах звёзд рассматриваемых типов, полученные из наблюдений.
Таблица 1
Спектрофотометрические температуры
и бальмеровские скачки звёзд ранних спектральных классов
Спектр, класс
𝙰0
𝙱5
𝙱2
𝑇
𝑒
10
500 K
15
000 K
20
000 K
𝑇
𝑐
'
⎰
⎱
теор.
19
000
21
000
23
000
набл.
16
000
23
000
26
500
𝑇
𝑐
ʺ
⎰
⎱
теор.
10
500
15
000
19
000
набл.
11
000
16
000
19
500
𝐷
⎰
⎱
теор.
0
,49
0
,22
0
,10
набл.
0
,47
0
,24
0
,11
В таблице 1 приведены теоретические и наблюдённые значения спектрофотометрической температуры 𝑇𝑐 и бальмеровского скачка 𝐷. При этом через 𝑇𝑐' и 𝑇𝑐ʺ обозначены значения 𝑇𝑐 до бальмеровского предела (т.е. при ν<ν₂) и после него соответственно.
Напомним, что спектрофотометрической температурой характеризуется наклон кривой распределения энергии в данном месте спектра. Точнее говоря, она определяется из условия, что логарифмическая производная интенсивности спектра равна логарифмической производной планковской интенсивности при температуре 𝑇𝑐, т.е.
𝑑
𝑑ν
lg 𝐻
ν
=
𝑑
𝑑ν
lg 𝐵
ν
(𝑇
𝑐
)
.
(6.17)
Подставляя сюда выражение для 𝐵ν(𝑇), находим следующее уравнение для определения 𝑇𝑐:
𝑑
𝑑ν
lg 𝐻
ν
=
3
ν
-
ℎ
𝑘𝑇𝑐
1
1-𝑒-ℎν/(𝑘𝑇𝑐)
.
(6.18)
Что же касается бальмеровского скачка, то он определяется формулой
𝐷
=
lg
𝐻ν<ν₂
𝐻ν>ν₂
.
(6.19)
Из таблицы 1 видно, что теория находится в хорошем согласии с наблюдениями. Это говорит прежде всего о том, что в фотосферах рассматриваемых звёзд главная роль в поглощении радиации принадлежит действительно атомам водорода.
3. Модели фотосфер.
Как было выяснено выше, в том случае, когда коэффициент поглощения αν представляется в виде (6.11), теория фотосфер сильно упрощается. В этом случае сначала можно рассчитать поле излучения в фотосфере, а затем определить структуру фотосферы. Однако обычно αν не представляется в виде (6.11) (так как поглощение вызывается разными атомами), вследствие чего обе указанные задачи надо решать совместно. Для этого следует совместно решить ряд уравнений, уже полученных ранее. Мы сейчас приведём эти уравнения, являющиеся основными уравнениями теории фотосфер.
1) Уравнение переноса излучения:
cos θ
=
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(6.20)
2) Условие постоянства полного потока излучения (эквивалентное условию лучистого равновесия):
2π
∞
∫
0
𝑑ν
π
∫
0
𝐼
ν
cos θ
sin θ
𝑑θ
=
σ𝑇
4
𝑒
.
(6.21)
3) Закон Кирхгофа — Планка, выражающий собой предположение о локальном термодинамическом равновесии:
ε
ν
=
α
ν
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
(6.22)
4) Уравнение механического равновесия фотосферы:
𝑑(
𝑝
𝑔
+
𝑝
𝑟
)
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
,
(6.23)
где
𝑝
𝑔
=
𝑅∗
μ
ρ𝑇
,
𝑝
𝑟
=
1
3
𝑎𝑇⁴
.
(6.24)
В приведённых уравнениях заданными величинами являются эффективная температура звезды 𝑇𝑒, ускорение силы тяжести на поверхности звезды 𝑔 и химический состав фотосферы. Кроме того, надо считать заданным выражение для коэффициента поглощения αν, который зависит от химического состава и от физических условий в фотосфере (т.е. от 𝑇 и ρ).
В результате решения этих уравнений получается модель фотосферы, т.е. зависимость температуры 𝑇 и плотности ρ от глубины, а также поле излучения в фотосфере. В частности, при этом определяется теоретический спектр звезды, который может быть сравнён с наблюдаемым спектром.
Основные уравнения теории фотосфер обычно решаются методом последовательных приближений. При этом при построении первого приближения используется средний коэффициент поглощения α и соответствующая ему оптическая глубина τ, и принимается, что температура 𝑇 связана с τ так же, как и в случае независимости коэффициента поглощения от частоты. Иными словами, считается, что