Обозначим через 𝐴 долю энергии, поглощённой в спектральных линиях. Эта величина может быть найдена из наблюдений. Например, для Солнца она приблизительно равна 10%.
Поглощение энергии в линиях происходит в поверхностном слое с оптической толщиной в непрерывном спектре порядка нескольких десятых. Однако для простоты мы сейчас примем, что энергия поглощается в линиях на границе звезды (при τ=0). Тогда при предположении о независимости коэффициента поглощения в непрерывном спектре от частоты (или при использовании среднего коэффициента поглощения) учёт покровного эффекта может быть произведён точно.
При составлении уравнения лучистого равновесия для данной задачи надо иметь в виду, что на каждый элементарный объём в фотосфере падает как диффузное излучение, идущее со всех сторон, так и излучение, отражённое от границы и ослабленное по пути. Интенсивность диффузного излучения мы обозначим через 𝐼(τ,μ), а интенсивность излучения, отражённого от границы,— через 𝐼∗. Тогда в качестве условия лучистого равновесия получаем
𝑆(τ)
=
1
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ)
𝑑μ
+
1
2
𝐼
∗
1
∫
0
𝑒
-τ/μ
𝑑μ
.
(7.12)
Подставляя в (7.12) выражение 𝐼(τ,μ) через 𝑆(τ), найденное из уравнения переноса излучения (т.е. поступая так же, как при получении уравнения Милна), находим
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-τ'|
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
1
2
𝐼
∗
𝐸₂τ
.
(7.13)
Для определения величины 𝐼∗ мы должны воспользоваться соотношением
𝐼
∗
=
2𝐴
1
∫
0
𝐼(0,μ)
μ
𝑑μ
,
(7.14)
выражающим собой тот факт, что из количества энергии, падающей на границу, отражается обратно доля 𝐴. Очевидно, что в данном случае поток излучения должен быть таким же, как и при отсутствии покровного эффекта (т.е. равным π𝐹). Поэтому имеем
2(1-𝐴)
1
∫
0
𝐼(0,μ)
μ
𝑑μ
=
𝐹
.
(7.15)
Из (7.14) и (7.15) следует
𝐼
∗
=
𝐴
1-𝐴
𝐹
.
(7.16)
Подставляя (7.16) в (7.13), получаем
𝑆(τ)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-τ'|
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
𝐴𝐹
2(1-𝐴)
𝐸₂τ
.
(7.17)
Уравнение (7.17) при 𝐴=0 переходит в уравнение Милна.
Легко убедиться, что решение уравнения (7.17) имеет вид
𝑆(τ)
=
𝐴
1-𝐴
𝐹
+
3
4
𝐹
[τ+𝑞(τ)]
,
(7.18)
где 𝑞(τ) — функция Хопфа [см. формулу (2.51)].
Используя известные соотношения
𝑆(τ)
=
σ𝑇⁴
/
π
и
𝐹
=
σ𝑇
4
𝑒
/
π
вместо (7.18) находим
𝑇⁴
=
𝑇
4
𝑒
⎧
⎨
⎩
𝐴
1-𝐴
+
3
4
𝐹
[τ+𝑞(τ)]
⎫
⎬
⎭
.
(7.19)
Из формулы (7.19) видно, какое влияние оказывает покровный эффект на температуру в фотосфере. Однако эту формулу нельзя применять при очень малых значениях τ (из-за сделанного выше допущения о том, что излучение отражается от самой границы звезды).
3. Эффект отражения в тесных парах.
Рис. 10
Если две звезды находятся близко друг от друга, то при изучении их свечения необходимо принимать во внимание обмен лучистой энергией между ними. В этом случае к собственному излучению каждой звезды добавляется ещё излучение, отражённое ею. Разумеется, процесс отражения является в действительности весьма сложным: он состоит в том, что в каждой звезде под действием излучения соседней звезды происходит увеличение температуры, вследствие чего и возрастает количество излучаемой звездою энергии. Напишем уравнение лучистого равновесия для данной задачи. Допустим, что на границу звезды 𝐴 падает излучение от звезды 𝐵 внутри телесного угла Ω (рис. 10). Угол Ω для простоты будем считать малым. Среднюю интенсивность излучения, падающего внутри телесного угла Ω, обозначим через 𝐼₀, а средний угол между направлением этого излучения и нормалью к фотосферным слоям — через θ₀ Тогда уравнение лучистого равновесия будет иметь вид
𝑆(τ,μ₀)
=
1
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ',μ₀)
𝑑μ'
+
𝐼₀Ω
4π
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(7.20)
где 𝐼(τ,μ',μ₀) — интенсивность диффузного излучения в фотосфере (μ'=cos θ', μ₀=cos θ₀).
Пользуясь уравнением (7.20) и уравнением переноса излучения, как и при получении уравнения (2.45), находим
𝑆(τ,μ₀)
=
1
2
∞
∫
0
𝐸₁|τ-τ'|
𝑆(τ',μ₀)
𝑑τ'
+
𝐼₀Ω
4π
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
.
(7.21)
Уравнение (7.21) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Решение этого уравнения будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое определяется источниками энергии, находящимися внутри звезды (на бесконечно большой глубине), а второе — энергией, поступающей в фотосферу звезды 𝐴 от звезды 𝐵. На основании формул (3.16) и (3.64) получаем
𝑆(τ,μ₀)
=
√3
4
𝐹
⎡
⎢
⎣
1
+
τ
∫
0
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
+
𝐼₀Ω
4π
φ(μ₀)
×
×
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
+
τ
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ-τ'
μ₀
⎞
⎟
⎠
Φ(τ')
𝑑τ'
⎤
⎥
⎦
,
(7.22)
где φ(μ₀) и Φ(τ) — функции, определяемые уравнениями (3.53) и (3.55) соответственно.
При τ=0 из (7.22) получается следующая простая формула:
𝑆(0,μ₀)
=
√3
4
𝐹
+
𝐼₀Ω
4π
φ(μ₀)
.
(7.23)
Так как величина 𝑆(τ,μ₀) пропорциональна 𝑇⁴, то при помощи формулы (7.22) может быть вычислена температура 𝑇 на любой оптической глубине и при произвольном положении соседней звезды относительно данного места в фотосфере. Формула (7.23) позволяет определить значение поверхностной температуры 𝑇₀.