Пусть на площадку 𝑑σ, расположенную перпендикулярно к направлению излучения, падает излучение интенсивности 𝐼ν внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡. Количество энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼ν𝑑σ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Если среда способна поглощать излучение, то на пути 𝑑𝑠 из указанного количества энергии будет поглощена некоторая доля, пропорциональная 𝑑𝑠. Мы обозначим эту долю через αν𝑑𝑠. Таким образом, количество поглощённой энергии на пути 𝑑𝑠 будет равно
α
ν
𝑑𝑠
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
(1.9)
Величина αν называется коэффициентом поглощения. Так как доля поглощённой энергии αν𝑑𝑠 есть величина безразмерная, то коэффициент поглощения αν имеет размерность, обратную длине. Заметим, что коэффициент поглощения зависит от частоты излучения и координат данной точки, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде).
Если среда способна также излучать энергию, то количество энергии, излучённое объёмом 𝑑𝑉 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡, будет пропорционально 𝑑𝑉 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Мы обозначим это количество энергии через
ε
ν
𝑑𝑉
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
(1.10)
и назовём величину εν коэффициентом излучения. Следовательно, коэффициент излучения есть количество энергии, излучаемое единичным объёмом в единичном телесном угле в единичном интервале частот за единицу времени. Коэффициент излучения зависит от частоты ν, от координат данной точки и, вообще говоря, от направления излучения.
Считая величины αν и εν заданными, найдём, как меняется интенсивность излучения вдоль луча. При этом будем предполагать, что поле излучения стационарно, т.е. не меняется с течением времени.
Возьмём элементарный цилиндр, ось которого направлена по данному лучу. Пусть площадь основания,цилиндра равна 𝑑σ, а высота равна 𝑑𝑠 (причём высота мала по сравнению с линейными размерами основания). Рассмотрим излучение, входящее в цилиндр и выходящее из него внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения, входящего в цилиндр, есть 𝐼ν, то количество входящей в цилиндр энергии будет равно
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через 𝐼ν+𝑑𝐼ν. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно
(𝐼
ν
+𝑑𝐼
ν
)
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
.
Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём 𝑑𝑉=𝑑σ 𝑑𝑠. Таким образом, получаем
(𝐼
ν
+𝑑𝐼
ν
)
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
=
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
-
-
α
ν
𝑑𝑠
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
+
ε
ν
𝑑σ
𝑑𝑠
𝑑ω
𝑑ν
𝑑𝑡
,
или, после необходимых сокращений,
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(1.11)
Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.
В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. αν≠0, а εν=0), вместо уравнения (1.11) имеем
𝑑𝐼ν
𝑑𝑠
=-
α
ν
𝐼
ν
.
(1.12)
Интегрирование этого уравнения даёт
𝐼
ν
(𝑠)
=
𝐼
ν
(0)
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
0
α
ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
(1.13)
где 𝐼ν(0) — интенсивность излучения при 𝑠=0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).
Безразмерная величина
𝑠
∫
0
α
ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
называется оптическим расстоянием между двумя точками. При прохождении излучением единичного оптического расстояния интенсивность излучения уменьшается в 𝑒 раз.
В общем случае (т.е. при αν≠0, и εν≠0), решая уравнение (1.11) относительно 𝐼ν, получаем
𝐼
ν
(𝑠)
=
𝐼
ν
(0)
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
0
α
ν
(𝑠')
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑠
∫
0
ε
ν
(𝑠')
exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑠
∫
𝑠'
α
ν
(𝑠'')
𝑑𝑠''
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠'
.
(1.14)
Соотношение (1.14) может быть названо уравнением переноса излучения в интегральной форме.
Мы видим, что в общем случае интенсивность излучения состоит из двух частей. Первая часть представляет собой интенсивность первоначального излучения (в точке 𝑠=0), ослабленного вследствие поглощения на пути от 0 до 𝑠. Вторая часть есть интенсивность излучения, обусловленного испусканием лучистой энергии на пути от 0 до 𝑠 и соответствующим ослаблением его вследствие поглощения на пути от места испускания 𝑠' до рассматриваемого места 𝑠.
3. Уравнение лучистого равновесия.
Полученное выше уравнение переноса излучения (1.11) позволяет находить интенсивность излучения 𝐼ν, если известны коэффициент излучения εν и коэффициент поглощения αν. Однако обычно в задачах о переносе излучения коэффициент излучения εν не является заданным, а зависит от количества лучистой энергии, поглощённой в элементарном объёме, т.е. от величин αν и 𝐼ν. Чтобы найти эту зависимость, надо рассмотреть энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме данной среды.
Указанные процессы специфичны для каждой задачи. Мы сейчас рассмотрим энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме звёздной фотосферы.