2𝐹τ
+
𝐶
,
(2.19)
где 𝐶 — новая постоянная.
Для определения постоянных 𝐹 и 𝐶 обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что 𝐼₂(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину 𝐼₂(0) и пользуясь этим условием, имеем
𝐶
=
𝐹
.
(2.20)
Что касается постоянной 𝐹, то она выражается через полный поток излучения 𝐻, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен
𝐻
=
2π
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(2.21)
В принятом приближении
𝐻
=2π
⎡
⎢
⎣
1
2
π/2
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
-
1
2
π
∫
π/2
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
⎤
⎥
⎦
=
=
π[
𝐼₁(τ)
-
𝐼₂(τ)
].
(2.22)
Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем
𝐻
=
π𝐹
.
(2.23)
Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:
𝑆(τ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
τ
+
1
2
⎞
⎟
⎠
.
(2.24)
Другая искомая функция 𝐼(τ,θ) легко выражается через 𝑆(τ) при помощи первого из уравнений (2.9).
Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2π cosθ sinθ 𝑑θ и проинтегрируем от 0 до π. Пользуясь формулой (2.21), получаем
2π
𝑑
𝑑τ
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cos²θ
sinθ
𝑑θ
=
𝐻
.
(2.25)
Вынесем за знак интеграла среднее значение cos² на сфере, равное ¹/₃ т.е. приближённо положим
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
cos²θ
sinθ
𝑑θ
=
1
3
π
∫
0
𝐼(τ,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.26)
Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим
4π
3
𝑑𝑆(τ)
𝑑τ
=
𝐻
.
(2.27)
Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует
𝑆(τ)
=
3
4π
𝐻τ
+
𝐶
,
(2.28)
где 𝐶 — произвольная постоянная.
Для нахождения 𝐶 напишем выражение для величин 𝑆(τ) и 𝐻 при τ=0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
𝑆(0)
=
1
2
π
∫
0
𝐼(0,θ)
sinθ
𝑑θ
,
(2.29)
а также приближённо
𝐻
=
π
π
∫
0
𝐼(0,θ)
sinθ
𝑑θ
.
(2.30)
Поэтому имеем
𝑆(0)
=
𝐻
2π
.
(2.31)
При условии (2.31) для постоянной 𝐶 получаем
𝐶
=
𝐻
2π
.
(2.32)
Подстановка (2.32) в (2.28) даёт
𝑆(τ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
3
4
τ
+
1
2
⎞
⎟
⎠
,
(2.33)
где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).
Мы видим, что выражение (2.33) для функции 𝑆(τ) не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.
3. Применение квадратурных формул.
Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cosθ, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.
Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).
Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:
μ
𝑑𝐼(τ,μ)
𝑑τ
=
𝐼(τ,μ)
-
1
2
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ')
𝑑μ'
,
(2.34)
где обозначено μ=cosθ.
Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:
+1
∫
-1
𝐼(τ,μ)
𝑑μ
=
𝑛
∑
𝑗=-𝑛
𝑎
𝑗
𝐼(τ,μ
𝑗
)
.
(2.35)
Здесь μ-𝑛,…,μ-1,μ1,…μ𝑛 суть корни полинома Лежандра 𝑃2𝑛(μ) и 𝑎𝑗 — некоторые весовые множители (𝑎-𝑗=𝑎𝑗). Представление (2.35) тем точнее, чем больше 𝑛
В 𝑛-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2𝑛:
μ
𝑖
𝑑𝐼𝑖
𝑑τ
=
𝐼
𝑖
-
1
2
∑
𝑗
𝑎
𝑗
𝐼
𝑗
(𝑖
=
±1,
±2,
…,
±𝑛
),
(2.36)
где для краткости 𝐼(τ,μ) обозначено через 𝐼𝑖.
Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. 𝐼-𝑖=0 при τ=0 (𝑖=1,2, ,𝑛); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с τ, 3) задан поток излучения 𝐻=π𝐹.
После нахождения величин 𝐼𝑖 из уравнений (2.36) основная искомая функция 𝑆(τ) определяется по формуле
𝑆(τ)
=
1
2
∑
𝑎
𝑗
𝐼
𝑗
.
(2.37)
Найдём в виде примера функцию 𝑆(τ) в первом приближении. В данном случае μ1=-μ-1=1/√3, 𝑎1=𝑎-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем
1
√3
𝑑𝐼1
𝑑τ
=
𝐼
1
-
1
2
(
𝐼
1
+
𝐼
-1
),
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
-
1
√3
𝑑𝐼-1
𝑑τ
=