и 
; они выражаются десятичными дробями с бесконечным рядом цифр после запятой, и тем не менее их легко построить: первое — как сторону вписанного квадрата (рис. 4), второе — как сторону вписанного равностороннего треугольника (рис. 5).
Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного) извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.
К этому роду несоизмеримых чисел π не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число π не может быть получено в результате конечного ряда извлечений квадратного корня. Теи самым устанавливается невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.
Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения задачи только малосведущие любители. «Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт — всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать c помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью».
Квадратура круга и потребности практики
Остается рассмотреть еще вопрос: нужно ли точное решение квадратуры круга для фактических расчетов? Оказывается, надобности в точном решении этой задачи никогда практически не возникает. Достаточно располагать таким решением, которое давало бы приближенный результат с желаемой степенью точности; а этого можно достичь, пользуясь даже частью известных уже цифр в выражении π.
Какую точность можно получить этим путем, видно из слов знаменитого французского астронома прошлого века Франсуа Араго. В своей «Общепонятной астрономии» (1849) он писал:
«Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами π, вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км).
«Если для π взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре вовлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.[2]
«Мы взяли 18 цифр π. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для π всеми известными его цифрами.
«Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного π, если бы оно существовало».
Итак, даже для астрономии, — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, — не требуется вполне точного решения квадратуры круга.
Десять задач
1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).
2