Бор вычислил значения энергий стационарных состояний для атома водорода и показал, что энергия уровня n равна энергии основного состояния, деленной на n2, то есть (E/n2). Это значит, что при n = 2, в первом возбужденном состоянии, энергия равна -13,6 ÷ 4 = - 3,40 эВ. Радиус первой электронной орбиты, n = 1, определяет размер атома водорода в основном состоянии. В рамках модели Бора этот радиус, в согласии с самыми точными современными экспериментальными оценками, равен 5,3 нанометра (нм). Нанометр — единица длины, равная одной миллиардной части метра. Бор показал, что радиусы других разрешенных орбит растут как r2: если при n = 1 радиус равен r, то радиус орбиты при n = 2 равен 4r, при n = 3 он равен 9r, и так далее.
Рис. 6. Несколько стационарных состояний и соответствующие им энергетические уровни атома водорода (рисунок не в масштабе)
Тридцать первого января 1913 года Бор написал Резерфорду: “Надеюсь, скоро мне удастся отправить статью про атомы в печать. Я потратил на нее гораздо больше времени, чем предполагал, но, кажется, за последнее время мне удалось добиться существенного прогресса”19. Квантуя угловой момент орбитальных электронов, Бор смог добиться стабильности атома с ядром. Так он объяснил, почему электроны могут занимать не произвольные, а только строго определенные орбиты, то есть находиться только в стационарных состояниях. Через несколько дней после отправки письма Резерфорду Бор нашел третий, последний, ключ, позволивший ему завершить построение квантовой модели атома.
В это время Ханс Мариус Хансен, с которым Бор в студенческие годы дружил (тот был на год моложе) в Копенгагене, вернулся в датскую столицу, закончив обучение в Геттингене. Когда они с Бором встретились, тот рассказал товарищу о своих соображениях относительно структуры атома. В Германии Хансен занимался исследованиями в области спектроскопии. Он изучал поглощение и испускание излучения атомами и молекулами. Хансен спросил Бора, могут ли его идеи пролить свет на загадку образования спектральных линий. Уже давно было известно, что в зависимости оттого, испарение какого металла происходит при горении, открытое пламя меняет цвет. Оно становится ярко желтым вблизи натрия, темно-красным вблизи лития, фиолетовым вблизи калия. Еще в XIX веке было обнаружено, что каждый элемент приводит к образованию уникального набора спектральных линий: очень узких участков спектров, на которых интенсивность излучения сильно возрастает либо сильно ослаблена. Число, расстояние и длины волн спектральных линий, генерируемых атомами каждого из элементов, уникальны. Это как бы отпечатки пальцев, по которым элементы можно распознавать.
Спектры очень сложны. Различным элементам соответствует невероятно большое число разнообразных вариантов расположения и интенсивности спектральных линий. Поэтому трудно себе представить, что именно они послужили ключом к пониманию внутренней структуры атома. Всем интересно разглядывать цветной узор на крыльях бабочек, но, как сказал позднее Бор, “никто не думает, что, глядя на раскраску их крыльев, можно понять основы биологии”20. Связь между спектральными линиями и атомами была очевидна, но в феврале 1913 года Бор совершенно не представлял себе, в чем она состоит. Хансен предложил Бору взглянуть на формулу Бальмера для спектральных линий водорода. Насколько Бор помнил, он никогда о такой формуле не слышал. Более вероятно, что он просто забыл ее. Хансен записал формулу и пояснил: никто не понимает, почему она работает.