(x) = 0 .
μ
a
a
abc
bμ
c
(3.6)
§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки
Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид
ℒ
0
= -
1
∑
G
0μν
G
0a
,
YM
4
a
μν
G
0μν
= ∂
μ
B
0ν
- ∂
ν
B
0μ
;
a
a
a
(4.1)
здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:
B
0μ
→ B
0μ
- ∂
μ
.
a
a
a
(4.2)
Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим, что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B0a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов π получаем выражения
π
μ
(x) =
∂ℒ
YM
= G
μ0
,
a
∂(∂
0
B
aμ
)
a
(4.3)
из которых видно, что нулевые компоненты импульсов π0a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде
[π
μ
(x),B
ν
(y)]δ(x
0
- y
0
) = -iδ
g
μν
(x - y).
a
b
ab
(4.4)
Нулевые компоненты полей B0a(x) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются c -числами.
В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей Bμ рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.
Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида ∂μBμa = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения ∂B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство Гупты—Блейлера ΧGB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве ΧGB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию
⟨Φ
|∂
B
μ
(x)|Φ
⟩=0 .
ph
μ
a
ph
(4.5)
Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять
|Φ
ph
⟩∼|Φ'
ph
= |Φ
ph
⟩+|Φ
(0)
⟩ ,
(4.6)
где ⟨Φ0|Φ0⟩ = 0, то мы получим пространство физических векторов ℒ.
Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(λ/2)∑a(∂μBμa)2 (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид
ℒ
=
-
1
∑
G
μν
G
-
λ
∑
(∂
B
μ
)
2
.
λYM
4
a
aμν
2
μ
a
a
a
(4.7)
Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид
π
μ
(x) = G
μ0
(x) - λg
μ0
∂
B
ν
(x) ,
λa
a
ν
a
(4.8)
и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при μ = 0:
λ[∂
B
μ
(x),B
ν
(y)]δ(x
- y
)=iδ
δ
δ
(x-y) .
μ
a
b
0
0
ab
0ν
4
(4.9)
Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр λ = 1 и введем канонические тетрады ε(p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k: