Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

=

 

∑

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lk

,

δ

_ab

T

_F

=

Tr t

^a

t

^b

=

 

∑

^k,i

t

_a

^ik

t

_b

^ki

.

При этом

C

_A

=N, C

_F

=

N²-1

2N

, T

_F

=

1

2

.

В приложениях часто встречаются соотношение

Tr t

^a

t

^b

t

^c

=

i

4

ƒ

^abc

+

i

4

d

^abc

,

а также инварианты

 

∑

^abc

d

₂

^abc

=

40

3

,

 

∑

^abc

ƒ

₂

^abc

=24 ,

 

∑

^rka

ε

_irk

t

_a

^jr

t

_a

^kl

=-

2

3

ε

_ijl

.

Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД

Имеются следующие фейнмановские правила:

igγ

_μ

t

_a

^kj

-gƒ

^abc

[(p-q)

_ν

g

_λμ

+(q-k)

_λ

+(k-p)

_μ

g

_νλ

]

-igƒ²

 

∑

^e

{ƒ

^abe

ƒ

^cde

(g

_λν

g

_νσ

-g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ace

ƒ

^bde

(g

_λμ

g

_νσ

-g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ade

ƒ

^cbe

(g

_λν

g

_μσ

-g

_λμ

g

_σν

)}

-gƒ

^acb

p

_μ

i

p-m_j+i0

δ

_jk

i

-g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

δ

_ab

(лоренцева калибровка)

i

-g^μν+(n^μk^ν+n^νk^μ)/n⋅k-n²(k^μk^ν/n⋅k)

k²+i0

δ

_ab

(аксиальная калибровка)

i

k²+i0

δ

_ab

.

При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2π)⁴δ(P_i-P_ƒ), описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (— 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю ду́хов. Статистические множители таковы:

1

2!

 для

1

3!

 для

Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию

ν

_4-D

⁰

∫

𝑑

^D

k/(2π)

^D

≡

∫

𝑑

^d

k̂ .

Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются. Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам:

(2π)

^-3/2

u(p,σ)

(2π)

^-3/2

v

(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

u

(p,σ)

(2π)

^-3/2

v(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

 

∑

^σ

u(p,σ)

u

=

p

+m ,

 

∑

^λ

ε

^μ

(k,λ)

^*

ε

ν

(k,λ)=-g

^μν

(фейнмановская калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

 

∑

^σ

u

_BD

u

_BD

=

p+m

2m

,

а также множителями (2π)^-3/2 вследствие разного определения амплитуд 𝓣 и 𝓣_BD

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов

Введем обозначения: γ₊=1, γ_-=γ₅ и Δ — произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию Δ=0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

N=q(0)γ^μ₁…∂^μ_nγ_±q(0)

Δ(Δ⋅k)^k-1γ_±