N=Gμμ1∂μ2…∂μG
gμν(Δ⋅k)nk²ΔμΔν(Δ⋅k)n-2
-(kμΔν+Δμkν)(Δ⋅k)n-1
N=g
q
j
(0)γ
μ1
…B
μ
a
t
a
jk
…γ
μn
γ
±
q
k
(0)
gt
a
ij
Δ
μ
n-2
∑
j=0
(Δ⋅p
1
)
j
(
Δ
⋅p
2
)
n-j-2
γ
±
N=gGμν1∂μ2…Bμi…G
ig
3! ƒabc
⎧
⎨
⎩ Δν
⎡
⎣ Δλkμ(Δ⋅p)+pλΔp(Δ⋅k) -gμλ(Δ⋅p)(Δ⋅k)-ΔkΔλ(p⋅k)
⎤
⎦ +
n-2
∑
j=1 (-1)j(Δ⋅p)j-1(Δ⋅k)n-j-2 +
⎡
⎣ (gμλΔν-Δμgνλ)(Δ⋅k) +Δλ(Δμkν-Δνkμ)
⎤
⎦ (Δ⋅k)n-2
⎫
⎬
⎭ + перестановки.
См. также работы [125,126].
Приложение Е. Некоторые сингулярные функции
Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами
Δ(x;m²)
=
∫
𝑑4k
(2π)4
e
-ik⋅x
i
k²-m²+i0
,
D
μν
ξ
(x)
=
i
∫
𝑑4k
(2π)4
e
-ik⋅x
-gμν+ξkμkν/(k2+i0)
k2+i0
,
S(x;m)
=
∫
𝑑4k
(2π)4
e
-ik⋅x
k²-m²+i0
.
Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций Δ и S. Эти же функции можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:
⟨Tφ(x)φ(0)⟩
0
Δ
(x;m);
⟨Tq
j
(x)
q
k
(0)⟩
0
=δ
jk
S(x,m),
⟨TB
μ
a
(x)B
ν
b
(0)⟩
0
=δ
ab
D
μν
ξ
(x).
Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (∂²x+m²)iΔ(x-y)=δ(x-y) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение
S(x,m)=(i∂+m)Δ(x,m)
На световом конусе справедливы разложения
Δ(x,m)²
≃
x²→0
-1
4π²
⋅
1
x²-i0
+
im²θ(x²)
16π
+
m²
8π²
log
m|x²|½
2
+…
S(x)
≃
x²→0
2ixμγμ
(2π)²(x²-i0)²
+…
и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге [40]56). Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [135]. В тексте использованы формулы
56)Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в книге [40], множителем i: S=iSBD, D=iDBD и т.д.
∫
𝑑
4
x e
-ik⋅x
1
x²±i0
=-4π²
i
k²i0
,
∫
𝑑
4
x e
-ik⋅x
1
(x²±i0)²
=-π²i log(k²±i0)+ .
Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид
{q
i
α
(x),q
k
β
(x)}=0; δ(x
0
-y
0
){q
i
α
(x),
k
β
(y)
+
}=δ
αβ
δ
ik
δ(x-y),
{q
α
(x),
q
β
(0)}
≃
x²→0
(
-im)
αβ
⎧
⎨
⎩
1
2π
ε(x
0
)δ(x
2
)
-
m
4π√x²
θ(x²)ε(x
2
)+…
⎫
⎬
⎭
.
Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов
Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью λ и импульсом p, нормированы следующим образом57):
57) При этом трансформационные свойства произвольного поля таковы: U(a)Φ(x)U-1(a)=Φ(x+a), U(a)=eiPa
⟨p',λ'|p,λ⟩=2p
0
δ
λλ
δ(p
⃗
-p
⃗
'),
P
μ
|p,λ⟩=p
μ
|p,λ⟩.
Это соответствует плотности частиц на единицу объема
ρ(p)=
2p0
(2π)3
.
Амплитуда рассеяния 𝓣 связана с S-матрицей соотношением
S=1+i𝓣, ⟨ƒ|𝓣|i⟩=δ(P
ƒ
-P
i
)F(i→ƒ).
В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами m1 и m1, сечение рассеяния имеет вид
𝑑σ(i→ƒ)=
2π
2
λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
δ(P
ƒ
-P
i
)|F(i→ƒ)|²
𝑑
⃗
p
ƒ1
2p
0
ƒ1
…
𝑑
⃗
p