ƒn
2p
0
ƒn
где введены обозначения
λ(a,b,c)=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc, s=P
2
i
.
В случае p1+p2→p'1+p'2 приведенная выше формула принимает вид
𝑑σ(i→ƒ)
𝑑t
=
π
3
λ(s,m
2
1
,m
2
2
)
|F(i→ƒ)|²,
𝑑σ
𝑑Ω
⎪
⎪
⎪em
=
π²
4s
⋅
q'
q
|F(i-ƒ)|²,
σ(i-all)
=
[4π²/λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
)]Im F(i→i).
Здесь использованы обозначения
t=(p
2
-p'
2
)², q=|⃗p
1 em
|=
λ
½
(s,m
2
1
,m
2
2
)
2s
½
,
q'=|⃗p'
1 em
|=
λ
½
(s,m'
2
1
,m'
2
2
)
2s
½
,
Ω
em
≈(θ
em
,φ
em
), 𝑑
Ω
=𝑑cosθ𝑑φ
Аналогично скорость распада можно выразить в виде58)
58) Все формулы справедливы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычислении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на число тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам j тождественных бозонов или фермионов, то полученное выражение нужно разделить на j!.
𝑑Γ(i→ƒ)=
1
4πm1
δ(P
i
-P
ƒ
)|F(i→ƒ)|²
𝑑⃗p
ƒ1
2p
0
ƒ1
…
𝑑⃗p
ƒn
2p
0
ƒn
, P
i
=
⎧
⎪
⎩
mi
⃗0
⎫
⎪
⎭
.
Всюду используются единицы, в которых ℏ=c=1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единиц:
1 МэВ-1=1,973⋅10-11см=6,582⋅10-22с.
1 ГэВ-2=0,3894 мбарн.
1 МэВ=1,783⋅10-27 г= 1,602⋅10-6эрг.
1 см=5,068⋅1010МэВ-1, 1 с — 1,519⋅1021 МэВ-1.
1 мбарн = 2,568 ГэВ-2.
1 г = 5,610⋅1026МэВ, 1 эрг = 6,242⋅105 МэВ.
Приложение 3. Функциональные производные
Функционал представляет собой отображение пространства достаточно гладких функций {f(x)} в пространстве комплексных чисел:
F:ƒ→F[ƒ].
Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[ƒ,g,…]. Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений59) x на N ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение xj. Тогда функционал F[ƒ] представляет собой предел, к которому стремится функция FN(ƒ1,…,ƒj,…), где ƒj≡ƒ(xj), при стремлении размера ячейки к нулю. Производная ∂FN/∂ƒj определяется формулой
59) Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить дополнительный предельный переход L→∞
∂FN(ƒ1,…,ƒj…)
∂ƒj
=
lim
ε→0
FN(ƒ1,…,ƒj+ε,…) - FN(ƒ1,…,ƒj,…)
ε
,
т.е. Она может быть получена сдвигом ƒi→ƒi+εδij. Поэтому мы определяем функциональную производную как предел
δF[ƒ]
δƒ(y)
=
lim
ε→0
F[ƒ+εδy]-F[ƒ]
ε
,
где δy есть δ-функция, обращающаяся в бесконечность в точке y: δy(x)=δ(x-y). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом
F[ƒ]=
∫
𝑑x K
F
(x)ƒ(x);
тогда функциональная производная имеет вид
δF[ƒ]
δƒ(y)
=K
F
(y).
Понятие ряда Тейлора можно обобщить и на функциональные ряды. Если ядра Kn — симметричные (или антисимметричные в случае фермионных переменных ƒ) функции своих аргументов, то легко убедиться, что для функционала
F[ƒ]=
∞
∑
n=0
1
n!
∫
𝑑x
1
…𝑑x
n
K
n
(x
1
,…,x
n
)ƒ(x
1
)…ƒ(x
n
),
n-я функциональная производная имеет вид
K
n
(x
1
,…,x
n
)=
δnF[ƒ]
δƒ(x1)…δƒ(xn)
.
Процедурой, связанной с функциональной производной, является функциональное интегрирование. Функциональный интеграл определяется формулой
∫
∏
x
𝑑ƒ(x) F[ƒ]≡
lim
N→∞
∫
𝑑ƒ
1
…𝑑ƒ
N
F
N
(ƒ
1
,…,ƒ
N
).
Как и в случае функционального дифференцирования, процедура функционального интегрирования подчиняется правилам, аналогичным правилам выполнения обычного интегрирования. При функциональном дифференцировании и при функциональном интегрировании, чтобы учесть антикоммутационный характер функций ƒ, требуется некоторая модификация приведенных выше соотношений. Эта модификация описана в § 39.
Функциональные производные от выражений, не содержащих интегралы, можно найти, переписав их в интегральном виде. Например, легко вычислить функциональную производную, фигурирующую в формуле (41.9), для которой результат имеет вид