ε
(0)
μ
=δ
μ0
;
ε
(i)
0
=0,
⃗
ε
(i)
⋅
⃗
k=0,
i=1,2,
ε
(3)
μ
=
1
k
0
k
μ
-δ
μ0
;
ε
(i)
ε
(j)μ
= -δ
, i,j = 1,2,3.
μ
ij
(4.10)
Компоненты ε(i)(i=1,2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, ε3 представляет собой продольную компоненту, а компонента ε0 соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид
B
μ
b
(x)
=
1
(2π)
3/2
∫
d
⃗
k
2k
0
∑
p
{
e
-ik⋅x
ε
(ρ)μ
(k)a
ρ
(b,k)
+
e
ik⋅x
ε
(p)μ
(k)
*
a
+
(b,k)
}
.
p
(4.11)
Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a+:
[a
(b,k),a
+
(b',k')] = -g
δ
2k
0
δ(
⃗
k-
⃗
k'),
μ
ν
μν
bb'
(4.12)
из которых видно, что вакуумное среднее ⟨0|a0(k)a+0(k)|0⟩ в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.
Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение
⟨TB
μ
(x)B
ν
⟩
= D
μν
(x),
a
b
0
ab
глюонный пропагатор при произвольном значении параметра λ можно записать в виде
D
μν
(x) = δ
i
∫
d
4
ke
-ik⋅x
-g
μν
+(1-λ
-1
)k
μ
k
ν
/(k
2
+i0)
.
ab
ab
(2π)
4
k
2
+i0
(4.13 a)
Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение
⟨fg…h⟩
0
≡⟨0|fg…h|0⟩,
которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/λ=ξ. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид
D
μν
(k) = iδ
ab
-g
μν
+ξk
μ
k
ν
/(k
2
+i0)
.
ab
k
2
+i0
(4.13 б)
Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра ξ=0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению ξ=1.
В действительности для случая λ≠1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член kμkν/k2 обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением
D
μν
(k,M) =
-g
μν
+(1-λ
-1
)k
μ
k
ν
/(k
2
-λ
-1
M
2
+i0)
iδ
ab
,
ab
k
2
-M
2
+i0
из которого в пределе M→0 следует выражение (4.13).
В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.
§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки
1. Ковариантные калибровки
Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями
P
H
GB
=
L
,
P
2
=P
+
=P ,
(5.1)
Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде
(PSP)(PSP)
+
= P.
(5.2)
Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве ΧGB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан