∂
0
Φ
+
(x) ,
t→-∞
то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа
⟨
a',b'
|
S
|
a,b
⟩
=
i
∫
d
4
x e
-ipa⋅x
(2π)
3/2
×(
∂
2
+ m
2
) ⟨
a',b'
|
Φ
+
(x)
|
b
⟩ .
a
a
Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение
⟨
a',b'
|
S
|
a,b
⟩
=
i
×
-i
∫
d
4
x
∫
d
4
y e
-ip⋅x
e
ip⋅y
(2π)
3/2
(2π)
3/2
×
(
∂
2
+ m
2
)(
∂
2
+ m
2
)⟨
b'
|
TΦ
(y)Φ
+
(x)
|
b
⟩ .
x
a
y
a'
a'
В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей
⟨
0
|
TΦ
(y)Φ
(z)Φ
+
(x)Φ
+
(w)
|
0
⟩ .
a'
b'
a
b
Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом ра и спином σ и обозначая соответствующее ему поле буквой ψ, получаем
⟨a',b'|S|(p
a
,σ),b⟩=
=
i
(2π)
3/2
∫
d
4
x
⟨
a',b'
|
ψ
(x)
|
b
⟩(
⃖
+ m
a
)u(p,σ)
e
-ipa⋅x
.
Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей TΦ01 (x)1Φ02 (x)2. Поля Φi можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид
Φ
i
(x)
=
1
∫
d
⃗
k
(2π)
3/2
2k
0
×
∑
{
e
-ik⋅x
ξ
+
(k,σ)a
+
(k,σ) + e
ik⋅x
ξ
-
(k,σ)a
+
-
(k,σ)
} ,
σ
где σ обозначает спиновое состояние, ξ± - соответствующие волновые функции, а a± и a+± - операторы рождения и уничтожения частиц (+) и античастиц (-). Коммутационные соотношения между операторами (символ [ , ] для фермионов должен интерпретироваться как антикоммутатор) имеют вид
[
a
(k,σ),a
+
(k',σ')
]
±
±
=
2δ
σσ'
k
0
δ(
⃗
k
-
⃗
k'
) ,
[
a
,a
+
]
+
-
=
0 ;
они могут быть использованы для проверки того, что разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
) -
:
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
: ≡
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
представляет собой c-число, называемое сверткой. Отсюда видно, что свертка совпадает с вакуумным средним от T-произведения (пропагатором):
Φ
0
(x
)Φ
0
(x
)
=
⟨
0
|
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
)
|
0
⟩
≡
⟨
TΦ
0
(x
)Φ
0
(x
)
⟩
.
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
0
Повторяя эту процедуру многократно, скажем для выражения (2.1), получим, что хронологическое произведение Tℒ0int…ℒ0int можно записать в виде комбинации сверток, умноженных на нормально упорядоченные произведения операторов. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вика. Матричные элементы от этих выражений легко вычисляются, и для каждого члена разложения S - матрицы по теории возмущений получается вполне определенный результат. Фейнмановские правила диаграммной техники автоматически учитывают все упомянутые выше требования и позволяют прямо по соответствующим фейнмановским графикам записать окончательный результат. Правила диаграммной техники для квантовой хромодинамики приведены в приложении Г (см. также § 42, в котором некоторые из них выводятся).