Иногда можно слышать, что Фейнман показал полную применимость понятия траектории в квантовой механике и тем самым ограничил область действия принципа неопределённостей Δ𝑝Δ𝑥 ~ ℏ. Следует подчеркнуть, что подобные высказывания являются принципиально неверными: никаких дополнительных ограничений на область действия принципа, неопределённостей формулировка Фейнмана не вносит; довольно безразлично, утверждаем ли мы, что траектория частицы в квантовой механике в общем случае не имеет смысла (поскольку движению частицы присуще распределение импульса в интервале Δ𝑝 ~ ℏ/Δ𝑥), или же говорим, что частица не имеет определённого значения импульса, поскольку волновые законы не позволяют локализовать её траекторию с точностью, лучшей чем Δ𝑥 ~ ℏ/Δ𝑝. В обоих случаях речь идёт о том, что движение частицы нельзя одновременно характеризовать точными значениями её координаты и импульса.
Остаётся, конечно, важный вопрос: является ли вероятностная интерпретация квантовой механики единственно возможной. Независимо от будущего ответа выяснение этой проблемы требует какого-то обобщения с выходом за рамки современной квантовой теории. Обобщения такого рода в настоящее время ещё не существует. Несмотря на то что современная теория элементарных частиц находится в весьма неудовлетворительном состоянии, нам пока не известно ни одного экспериментального факта, который был бы совершенно непонятен с точки зрения современных физических представлений, подобно тому как это было с опытом Майкельсона или с излучением чёрного тела на рубеже XIX и XX веков. Это обстоятельство является совершенно поразительным. Может быть, дело здесь в том, что наши представления о свойствах субатомных явлений во многих случаях имеют пока скорее качественный, чем количественный характер.
Недавние эксперименты по проверке дисперсионных соотношений для упругого рассеяния пионов на протонах показали, что в пределах точности измерений современной экспериментальной техники нет никаких отклонений от известных нам квантовых законов по крайней мере до расстояний Δ𝑥 ~ 5⋅10-15 см и интервалов времени Δ𝑡 ~ 2⋅10-25 сек.
Вполне возможно, что в будущем нам придётся существенно изменить известные сейчас законы квантования; однако представляется очень маловероятным, чтобы это изменение было связано с отказом от вероятностного описания микроявлений. Наоборот, есть все основания ожидать, что в изучении микромира по мере перехода ко все меньшим масштабам расстояний и времени роль вероятностного элемента будет возрастать.
Формулировка квантовой теории, предложенная Фейнманом, потребовала довольно сложного математического аппарата бесконечномерных интегралов в функциональном пространстве. В математической литературе такие интегралы часто называют «континуальными интегралами» или «интегралами по мере Винера», однако среди физиков более распространёнными являются термины «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Последний из них довольно точно соответствует английскому названию книги Фейнмана и Хибса (Quantum Mechanics and Path Integrals) и сути предложенного Фейнманом метода; этим термином мы и будем пользоваться далее.
Впервые интеграл по траекториям был введён в работах Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения, где было показано, что для броуновской частицы вероятность пройти вдоль траектории 𝑥=𝑥(𝑡) таким образом, чтобы
𝑥(0)=0,
𝑎1 < 𝑥(𝑡1) < 𝑏1,
. . . . . . .
𝑎n < 𝑥(𝑡n) < 𝑏n,
где
0 < 𝑡1 < 𝑡2 < … < 𝑡n
равна
𝑏1
∫
𝑎1
…
𝑏n
∫
𝑎n
𝒫(0|𝑥
1
;𝑡
1
)𝒫(𝑥
1
|𝑥
2
;𝑡
2
-𝑡
1
)…
…𝒫(𝑥
n-1
|𝑥
n
;𝑡
n
-𝑡
n-1
)𝑑𝑥
1
…𝑑𝑥
n
,
где
𝒫(𝑥|𝑦;𝑡)
=
1
2√π𝐷𝑡
𝐷 — постоянный коэффициент диффузии. В пределе, когда все интервалы (𝑡𝓀-𝑡𝓀-1)→0, это выражение переходит в бесконечномерный интеграл по траекториям.
С математической точки зрения обоснование такого предельного перехода требует прежде всего строгого определения дифференциального элемента объёма 𝒟n𝑥 — меры в соответствующем функциональном пространстве. Эта задача была подробно рассмотрена в начале двадцатых годов Винером [8, 9], который показал, что в случае независимых смещений броуновской частицы 𝑦𝓀≡𝑥(𝑡𝓀)-𝑥(𝑡𝓀-1) мера