Представим себе классический гармонический осциллятор; например, колеблющуюся пружину. Энергия этой пружины зависит от ее амплитуды (A), массы (m) и угловой частоты колебания (ω) следующим образом:
E = mω2A2/2.
Для квантового осциллятора, напротив, тот же самый процесс, описываемый этим уравнением (после введения условия квантизации, то есть постоянной Планка), имеет форму
E = (n + 1/2)ħω,
где n — квантовое число (0, 1, 2, 3); ħ — кратное постоянной Планка, известное как «редуцированная постоянная Планка» (а именно ħ = h/2π), а ω — угловая частота колебания.
Принцип соответствия требует, чтобы для больших квантовых чисел результат квантового выражения совпадал с результатом, предоставляемым классической физикой. Если сравнить оба выражения, можно увидеть, что для n порядка 1033 оба выражения совпадают. Для большей ясности рассмотрим следующий пример: у пружины массой 1 кг при угловой частоте 1 рад/с и амплитуде 1 м энергетическая разница между двумя последовательными уровнями энергии будет порядка 10-34 Дж, то есть абсолютно ничтожной на макроскопическом уровне.
В этом месте возникает сомнение. Действительно ли принцип соответствия — тот принцип, который искал Бор? Он больше похож на очень элегантный способ утвердить специально введенный элемент (постоянную Планка) в классических моделях. И действительно, так оно и есть. Хотя принцип соответствия использовался и продолжает использоваться для вычисления спектров излучений различных квантовых явлений, его научно-философский статус проблематичен, поскольку он не выводит постоянную Планка, а навязывает. С определенными оговорками эта постоянная навязана классической модели извне.
В книгах по истории квантовой физики обычно говорится о двух периодах: различают «старую» и «новую» квантовую физику. Принцип соответствия принадлежит первой из них, главная характеристика которой — постоянная попытка поддерживать тесную связь между квантовым миром и классическим. Одной из этих связей была возможность вообразить модели для представления физических данных. Вспомним: большой прорыв Бора, сформулировавшего атомную модель, состоял в отказе от мысли о том, что излучение электронов — результат их движения по определенной орбите (как этого требовала классическая электродинамика), и предположении, что испускаемая энергия есть итог перехода с одной орбиты на другую. Однако в обоих случаях оставались два центральных понятия: «орбита» и «модель атома».
В этом заключалась отсылка к традициям классической физики. «Объяснить» — означало представить модель, из которой были бы ясны наблюдаемые явления. Предшественники Бора полагали, что хотя информация об атоме получена косвенным путем (например, через спектральные линии), цель науки — узнать атом изнутри, иметь в распоряжении миниатюрную модель атома, как бы его фотографию. Квантовая прерывность (тот факт, что в мире бесконечно малого взаимообмен энергией является дискретным) была первым сигналом невозможности представить себе мир бесконечно малого в виде простой миниатюры в масштабе, доступном для человека. Такой ход мысли работал в XVII веке при использовании первых микроскопов и даже был важным рабочим инструментом в развитии статистической механики. В квантовом мире эта непрерывность не действовала, хотя в 1923 году Бор только начинал это осознавать.
Действительно, после успеха, который имела атомная модель Бора — Зоммерфельда, ее применение каждый раз ко все большему числу конкретных случаев и экспериментальное развитие спектроскопии до невообразимых деталей постепенно привели к накоплению аномалий и необъяснимых явлений, и вот ситуация уже не терпела отлагательств. Многие ученые ощутили разлад в физике, и начался поиск путей пересмотра ее основ.
Две самые устойчивые аномалии были характерны для атома гелия и его структуры, тогда это назвали «аномальным эффектом Зеемана». Когда Дмитрий Менделеев создал свою периодическую таблицу элементов, не было никаких достоверных сведений о существовании благородных газов («благородные» — потому что обычно не реагируют с другими элементами). Только в начале XX века с открытием гелия и аргона возникла необходимость добавить новый столбец, группу О, в которой содержались бы эти два газа. К ним вскоре добавились криптон, неон и ксенон. Так гелий стал вторым элементом таблицы (после водорода), а его ядро — это частицы, составляющие а-излучение.
Главная проблема заключалась в том, что Бор и Ханс Крамере (1894-1952), его молодой ассистент с 1916 года, не могли сопоставить экспериментальные данные спектра гелия ни с какой моделью атома. То, что сработало с атомом водорода, у которого был только один электрон, вращающийся по орбите вокруг ядра, не было справедливо для гелия, обладающего двумя электронами. Среди основных структурных сложностей был факт, что орбиты двух электронов не могли быть копланарнымн (лежать в одной плоскости). Если рассматривать модель Солнечной системы с девятью планетами, поражает, что все они вращаются вокруг Солнца в одной и той же плоскости. Так же в одной и той же плоскости вращались вокруг ядра все возможные орбиты электрона водорода во всех его возмущенных состояниях. В этом случае три квантовых числа, введенные в модели Бора — Зоммерфельда, соответствовали копланарным орбитам. Однако для гелия никак не удавалось создать копланарную модель, которая предсказывала бы лучи спектра, что ставило под сомнение справедливость принципа соответствия.