Frederick Grant BANTING, physio-
logiste canadien (Alliston, Ontario, 1891 - Musgrave Harbour 1941). Il a isolé l’insuline des îlots de Langerhans du pancréas à l’université de Toronto, où il travaillait avec Best, Collip et Macleod. Il a partagé avec ce dernier le prix Nobel de médecine en 1923 pour leur découverte.
Charles Herbert Best, physiologiste canadien (West Pembroke, Maine,
1899). Après avoir travaillé avec Banting à la découverte de l’insuline, il a étudié l’histamine, la choline, l’héparine. On lui doit The Physiological Basis of Medical Practice (1939).
James Bertran Collip, biochimiste
canadien (Toronto 1892 - † 1959). Il participa à l’isolement de l’insuline et s’illustra par la découverte de l’hormone de la PARATHYROÏDE*.
Panayotis G. Katsoyannis, biochi-
miste américain, d’origine grecque (né en 1924). Il a réussi la synthèse des chaînes A et B de l’insuline en 1963.
John James Rickard Macleod, phy-
siologiste écossais (près de Dunkeld, Perthshire, 1876 - Aberdeen 1935). Il fut assistant au London Hospital, puis professeur à Cleveland et à Toronto, où il collabora avec Banting à l’isolement de l’insuline. Il partagea avec lui le prix Nobel de médecine en 1923.
Frederick Sanger, biochimiste britannique (Rendcomb, Gloucestershire, 1918). Il a élucidé en 1955 la structure de l’insuline, montrant qu’elle était composée de deux chaînes polypeptidiques réunies en deux points par des radicaux sulfhydriques. Il a obtenu le prix Nobel 1958 pour la découverte de l’enchaînement des amino-acides de l’insuline.
Helmut Zahn, chimiste allemand (Erlangen 1916). Il a réussi peu après Katsoyannis à synthétiser les deux chaînes de l’insuline et à les réunir en un seul peptide en 1963, obtenant ainsi un produit physiologiquement actif.
intégrale définie
Limite, si elle existe, de la somme quand le nombre des quantités xp augmente indéfiniment, le plus grand des intervalles (xp, xp+1) tendant vers zéro, et f étant une fonction réelle définie et bornée sur le segment [a, b].
Les nombres xp tels que
x0 = a < x1 < ... < xp < xp+1 < ... < xn <
b = xn+1
partagent le segment [a, b] en n + 1
intervalles que l’on peut prendre égaux entre eux et à ; le nombre ξp
appartient à l’intervalle (xp, xp+1). Si
tend vers une limite I, dans les conditions indiquées, on dit que la fonction f est intégrable au sens de Riemann sur le segment
[a, b] ; le nombre I s’appelle l’intégrale de f sur le segment [a, b] et est désigné par la notation de Fourier
cette notation rappelant comment est obtenue la limite I.
Condition d’intégrabilité
La fonction f, étant supposée bornée sur le segment [a, b], admet sur chaque intervalle (xp, xp+1) une borne inférieure mp et une borne supérieure Mp et l’on a d’où, puisque xp+1 – xp > 0,
par suite,
Il suffit alors, pour que I existe, que les sommes s et S tendent vers une même limite, qui sera alors la limite I.
Or, et c’est le théorème de Darboux, quand n augmente indéfiniment, les sommes s et S tendent respectivement vers les limites I′ et I″, pourvu que la plus grande des différences xp+1 – xp tende vers zéro. De plus,
par suite, pour que I′ = I″ = I, il suffit que S – s tende vers zéro ; il suffit, par exemple, qu’il existe une suite de nombres positifs En tendant vers zéro avec telle que, pour chaque subdivision de [a, b] en n + 1 intervalles, on ait S – s < En ; c’est la condition d’inté-
grabilité de Riemann.
Exemples de
fonctions intégrables
y Toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment.
En effet, si f est une fonction continue sur [a, b], elle y est uniformément continue : pour tout couple (x, x′) tel que
| x – x′ | < η), on a | f (x) – f (x′) | < E, E ne dépendant que de η. Si on prend toutes les différences xp+1 – xp infé-
rieures à η, on aura Mp – mp < E quel que soit p ; par suite,
il suffit alors de prendre pour
que S – s soit inférieure à E′, E′ étant
une quantité arbitrairement petite, fixée à l’avance. Il en résulte alors que S – s - 0 et que la limite I existe.
y Toute fonction monotone sur
[a, b] est intégrable. Si f est croissante sur [a, b] ou même simple-
ment non décroissante, sur chaque intervalle (xp, xp+1) on a mp = f (xp) et Mp = f (xp+1) ; par suite, l’inégalité xp+1 – xp < η) entraîne
Il suffit alors de prendre
pour que S – s soit inférieure à E ; ainsi, S – s - 0 de la limite I existe.
On fait une démonstration analogue si f est non croissante.
Propriétés de
l’intégrale définie
1. Si b < a,
par suite, on peut intervertir les bornes d’intégration dans une intégrale définie à condition de changer le signe devant l’intégrale.
2. Si f est intégrable sur (a, b) et sur (b, c), a < b < c, elle l’est sur (a, c) et l’on a
Cette formule se généralise à trois nombres quelconques.
3. Si f est intégrable sur (a, b), Cf l’est aussi, et
C étant une constante.
4. Si f et g sont intégrables sur (a, b), f + g l’est aussi et
Par application de la propriété 3 et de la propriété 4, itérée, on trouve :
ce qui permet, par exemple, de calculer l’intégrale définie d’un polynôme sur un intervalle donné, comme somme des intégrales des différents monômes de ce polynôme.
5. FORMULES DE LA MOYENNE.
Première formule. Si f et g sont inté-
grables sur (a, b) et f (x) garde un signe constant sur (a, b),
m et M étant respectivement les bornes inférieure et supérieure de g dans (a, b).
Si g est continue, il existe une quantité E, telle que K = g(ξ) ; par
suite,
on a alors
Deuxième formule. Si f est une fonction non croissante sur (a, b) et f (x) > 0 ; si g est intégrable, on a
6. INTÉGRALE DÉFINIE FONCTION DE SES
BORNES.
De sa borne supérieure. La fonction F
telle que
est continue en un point x0 quelconque d’un intervalle (a, b) où f est intégrable, Un cas très fréquent est celui où f = 1 ; downloadModeText.vue.download 36 sur 577
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 11
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car, d’après la première formule de la moyenne, on a
quand x - x0, f étant bor-
née, d’où la continuité.
De plus,
quand h - 0, f (x + h) - f (x + 0), ou f (x + h) - f (x – 0),
suivant que h - 0+ ou h - 0–, f (x + 0) et f (x – 0) désignant les limites correspondantes de f (x) ; dans les mêmes conditions, K - (x ± 0), et, par suite, La fonction F admet donc une déri-vée à droite et une dérivée à gauche, au point x, respectivement égales à
f (x + 0) et f (x – 0). Si f est continue sur l’intervalle d’intégration, ce qui est souvent le cas, K = f (x), et, si La fonction F est alors une primitive de la fonction f. Le calcul des intégrales définies est donc ramené, dans la plupart des cas, à celui des primitives.
De sa borne inférieure. Si
d’après le résultat précédent.
De ses deux bornes. Si a(x) et b(x) sont deux fonctions de x dérivables, et si 7. Si G est une primitive de f sur (a, b), en est une
autre ; par suite, F(x) = G(x) + C, puisque F et G ont la même dérivée mais, pour x = a, F(a) = 0, d’où
0 = G(a) + C, d’où C = – G(a) et
par suite,
noté aussi
Il suffit, pour calculer une intégrale définie, de connaître une primitive de la fonction sous le signe somme ∫, ce qui n’est pas toujours possible.
Calcul des primitives
Comme
et que toutes les primitives de f sont de la forme G(x) + C, on désigne une primitive quelconque de f par ∫ f (x) dx, sans préciser la borne inférieure a, puisqu’on sait qu’il suffit de prendre C = – G(a), ni la borne supérieure x,