puisqu’elle est quelconque, et l’on écrit Intégration par parties
Si u′(x) et v′(x) sont les dérivées, bornées et continues, de u(x) et v(x), la relation (uv)′ = u′v + v′u donne, par intégration entre a et b :
qui est la formule d’intégration par parties ; elle est valable pour une intégrale indéfinie
Exemples.
Une telle méthode est souvent fructueuse quand la fonction sous le signe somme comporte une fonction trans-cendante dont la dérivée est au moins algébrique, Log x, Arc sin x ... D’autre part, s’il s’agit d’une intégrale définie, il peut se faire que le terme tout intégré soit nul, ce qui donne une relation entre Ce cas se présente souvent quand on cherche une relation de récurrence permettant le calcul d’une intégrale In dépendant d’un entier n.
et In = (n – 1) (In–2 – In), car la quantité entre crochets est nulle et sin 2 x = 1 – cos 2 x, d’où la relation nIn = (n – 1)In–2, qui permet le calcul de In.
Changement de variable
Si x = φ(t) est une fonction continue monotone, à dérivée continue, sur l’intervalle [t0, t1], avec φ(t0) = a, φ(t1) = b, et si f (x) est continue sur [a, b], En effet, f (x) dx est une véritable différentielle et, par le changement de downloadModeText.vue.download 37 sur 577
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 11
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variable x = φ(t), la différentielle est invariante
f (x) dx = f [φ(t)] φ′(t) dt.
Cette méthode est très employée.
Exemples.
en effet, si u = x2 + 1, du = 2x dx.
en effet, si u = cos x, du = – sin x dx.
De tels changements de variables sont à essayer quand on a à calculer une intégrale de la forme
RÈGLES. Si, f étant rationnelle,
f (sin x, cos x) dx ne change pas quand on remplace :
x par π – x, on pose sin x = u, ou x = Arc sin u ;
x par – x, on pose cos x = u, ou
x = Arc cos u ;
x par π + x, on pose tg x = u, ou x = Arc tg u ;
si aucun des changements n’est
concluant, on pose
Cependant, il faut faire attention aux discontinuités qu’introduit ce changement de variable.
Intégrales généralisées
L’INTERVALLE D’INTÉGRATION EST
INFINI.
Pour α ≠ 1,
quand x - ∞, le second membre a un sens si α > 1, car on dit que
l’intégrale converge, et l’on
note
pour α = 1,
quand x - + ∞.
Par suite, si pour x > X, | f (x) | xα < C, C constant, α > 1, existe.
Une condition nécessaire de convergence de quand X - ∞, est
donc que | f (x) | - 0 ; elle n’est pas suffisante.
LA FONCTION À INTÉGRER NE RESTE
PAS BORNÉE AU VOISINAGE D’UNE BORNE
D’INTÉGRATION.
Pour α ≠ 1,
quand X - b–, le second membre a un sens si α < 1, et
pour α = 1,
quand X - b–.
Par suite, si quand x - b, | f (x) | (b – ) α < K, avec α < 1, existe.
Un grand nom dans
l’étude des intégrales
Arnaud Denjoy
Mathématicien français (Auch 1884). Son oeuvre approfondit et prolonge celle de l’école française du début du XXe s., plus particulièrement les travaux de René Baire (1874-1932) et d’Henri Lebesgue (1875-1941).
L’intégrale de Lebesgue, beaucoup plus puissante que celle de Bernhard Riemann (1826-1866), ne suffit cependant pas à trouver dans tous les cas la primitive d’une dérivée donnée ni les coefficients de la série trigonométrique d’une fonction donnée. Ces problèmes ont été résolus par Denjoy à partir de 1912, grâce à la découverte de la totalisation, extension de l’inté-
grale de Lebesgue. (Acad. des sc., 1942.) J. I.
E. S.
F Calcul numérique / Différentielle / Fonction
/ Série.
G. Valiron, Cours d’analyse mathématique, t. I : Théorie des fonctions (Masson, 1948 ; 3e éd., 1968). / G. Casanova, Cours de mathématiques spéciales, t. II : Algèbre et analyse (Berlin, 1960). / G. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Nouveau Cours de mathématiques spéciales, t. II : Analyse (Masson, 1961). / A. Hocquen-ghem et P. Jaffard, Mathématiques, t. I : Élé-
ments de calcul différentiel et intégral (Masson, 1964 ; 3e éd., 1967).
intégration
Mode d’organisation de la production*
dans lequel les différentes opérations d’un même processus de production passent sous le contrôle partiel (par voie de contrat) ou total (par l’acquisition de la propriété effective du moyen de production) d’un pôle d’intégration, chargé de réaliser la coordination des différentes opérations productives.
Ce mode d’organisation de la pro-
duction a notamment atteint le secteur agricole, sous la forme d’ententes de production entre l’exploitant d’une part, le transformateur, le distributeur ou le détaillant d’autre part. Plus précisément, ce système s’est surtout manifesté de façon spectaculaire dans le domaine de l’aviculture (élevage industriel de poulets ou de poules pon-deuses) ou de l’élevage du porc, et dans celui de la production de fruits et légumes.
Dans la réalité concrète, il est possible d’opposer deux systèmes essentiels : intégration et quasi-intégration d’une part ; intégration « ascendante »
ou « descendante » d’autre part.
Intégration et
quasi-intégration
Intégration et quasi-intégration sont dominées l’une et l’autre par un centre de décision unique, appelé pôle d’inté-
gration (individu, firme ou coopérative). Lorsqu’il y a intégration, totale ou partielle, ce pouvoir est normalement exercé par une firme commerciale s’occupant principalement de la transformation, de la commercialisation, de la fourniture des aliments pour les animaux et pour les individus, voire de la production. Il peut s’agir d’une firme privée ou d’une coopérative. Le pôle d’intégration peut parvenir à ses fins de deux manières différentes.
Dans un cas, celui de l’intégration totale, le pôle d’intégration réalise l’appropriation pure et simple de toutes les opérations, ce qui lui permet d’assurer la centralisation des décisions.
C’est ainsi que certaines entreprises de fabrication d’essence de lavande cherchent à s’approprier des terrains afin d’assurer elles-mêmes la production des plantes qui constituent la ma-
tière première.
Dans le second cas, celui de quasi-intégration, le pôle d’intégration, ou firme intégrante, parvient à l’intégration par la conclusion de contrats qui définissent les relations et les obligations réciproques des entreprises chargées d’assumer les diverses fonctions (approvisionnement, production, transformation, distribution*).
La centralisation des décisions, à partir du pôle d’intégration, est assurée dans ce cas par un système de contrats liant ce pôle à un nombre plus ou moins grand de firmes intégrées. Celles-ci, autonomes juridiquement, sont dominées économiquement en raison de la différence de puissance financière existant généralement entre elles et l’entreprise intégrante.
On pénètre ici dans le domaine de l’agriculture contractuelle, qui a pris, ces dernières années, une extension assez considérable. Pour éviter des abus, des contrats types par produit ont été prévus (loi du 5 août 1960).
Le domaine d’élection de l’agriculture contractuelle est la production de légumes et de fruits, les contrats se passant généralement entre les producteurs isolés et les conserveries.
Intégration ascendante et
intégration descendante
L’intégration ascendante et l’inté-
gration descendante se définissent en fonction du rôle joué par l’industrie de transformation. Les cas d’intégration ascendante sont rares. On peut citer les grandes « maisons » de commerce de graines qui concluent des contrats avec des agriculteurs pour la production de semences. Il vaut mieux, d’ailleurs, parler de quasi-intégration ascendante.