Tables de la loi normale
pour certaines valeurs de x : ce sont les valeurs de la fonction de répartition F(x) qui sont importantes pour calculer des probabilités attachées à des variables normales.
Usage de la table de la fonction F
Cette table donne les valeurs de
pour les valeurs positives de X seulement. Ainsi, par lecture directe,
Prob{X < 1,23} = 0,890 7 = F(1,23).
La symétrie du graphe Γ(0, 1) per-
met d’évaluer F(x) pour x < 0 ; il suffit, pour cela, de remarquer que F(x) = 1 – F(– x) ; ainsi,
F(– 0,84) = Prob{X < – 0,84} = 1 – F(
0,84) = 1 – 0,799 5 = 0,200 5.
Recherches de certaines
probabilités liées à la fonction F
Par lecture directe de la table, on n’obtient que des probabilités du type : Prob {X < x} = F(x) ;
mais on peut être amené à calculer d’autres probabilités.
1.
Les événements {X < x} et
sont complémentaires. La somme de
leurs probabilités est égale à 1 ; par
suite :
2.
F(x1) = Prob {X < x1} ;
F(x0) = Prob {X < x0}
par différence,
Ainsi,
CAS PARTICULIER : x0 = – x1 = – h, h > 0. C’est le cas d’un intervalle centré ; par suite,
car F(– h) = 1 – F(h).
On peut encore écrire :
Prob {| X | < h} = 2F(h) – 1,
probabilité pour que X soit, en valeur absolue, inférieur à h. On trouvera ainsi que
| X | < 1 avec une probabilité de 0,683 ;
| X | < 2 avec une probabilité de 0,954 ;
| X | < 3 avec une probabilité de 0,997 ; Par conséquence, Prob {| X | > h] = 2
– 2F(h) = 2[1 – F(h)].
3. Un problème que l’on rencontre
souvent est le cas d’une variable non centrée et non réduite. C’est le cas d’une variable X d’espérance m non nulle et d’écart type σ ≠ 1. On est ramené au cas d’une variable centrée réduite, c’est-à-dire de moyenne nulle et d’écart type 1, en posant
en effet, E(Z) = 0 et σ(Z) = σ.
EXEMPLE. Une variable aléatoire X
suit une loi normale de moyenne 5 et d’écart type 2. Trouver les probabilités pour que :
comme m = 5 et σ = 2,
y
d’où Prob {X < 9} = F(2) = 0,977 2.
y
y Prob {1 < X < 9} = Prob {X < 9}
– Prob {X < 1} ;
Prob {X < 1} = Prob {Z < – 2} = F(–
2) = 1 – F(2) ;
d’où : Prob {1 < X < 9} = F(2) – 1[1
– F(2)] = 2F(2) – 1 = 0,954 4.
Le cas d’une variable non centrée et non réduite est le plus fréquent.
Champ d’application de la loi
normale
Le champ d’application de la loi normale est assez vaste. Cependant, il faut bien se garder de considérer
comme « anormale » une variable
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aléatoire dont la loi n’est pas celle de Laplace-Gauss.
Exemple d’application. Un employé
travaille 250 jours par an. Son trajet pour se rendre au bureau dure en moyenne 43 mn avec un écart type de 3 mn 30 s. Il commence à 9 h et quitte son domicile à 8 h 10. Combien de
jours par an doit-il s’attendre à être en retard ?
La durée du trajet, supposée être une variable gaussienne X d’espérance 43
et d’écart type 3,5, ne doit pas être supé-
rieure à 50 ; notre employé est donc en retard si la probabilité d’un
tel événement est 1 – F(2) = 0,022 8 ; d’où 250 × 0,022 8 = 5,7, soit six jours où il arrivera en retard.
E. S.
F Aléatoire (variable) / Binomiale (loi) / Enquête par sondages / Poisson (loi de) / Probabilités.
B. V. Gnedenko et A. Ia. Khintchine, Introduction à la théorie des probabilités (Dunod, 1960 ; 3e éd., 1969). / G. Calot, Cours de calcul des probabilités (Dunod, 1963 ; 2e éd., 1967) ; Exercices de calculs des probabilités (Dunod, 1967). / L. Chambadal, Calcul des probabilités (Dunod, 1969).
La Pradelle
(Albert de
Geouffre de)
F JURIDIQUES (sciences).
laque
Au féminin, sève naturelle du laquier (Rhus vernicifera), arbre originaire de Chine et transplanté en Corée, au Japon et en Annam. — Au masculin,
le terme désigne la sève ayant subi la préparation qui la rend utilisable et l’objet exécuté en cette matière.
De composition différente, les
laques indiens, birmans et cinghalais sont faits à partir de la gomme-laque, substance dérivée de la sécrétion col-lante que dépose un insecte (Tachardia lacca) sur les arbres. À partir du XVIIe s., ce produit servira de base aux vernis employés par les artisans européens afin d’imiter les laques importés d’Extrême-Orient.
Technique
Des incisions pratiquées dans l’arbre à laque permettent de recueillir un jus blanchâtre qui durcit et fonce au contact de l’air. On épure ce jus par des filtrages et une ébullition lente. Le laque est alors prêt à l’emploi et s’applique en couches successives sur différents supports : le bambou, le cuir, la porcelaine, les métaux, les tissus et surtout le bois, nu ou recouvert d’une toile de chanvre apprêtée. Chaque
couche, colorée le plus souvent en noir ou en rouge, doit être séchée en milieu humide et poncée pour obtenir unité et brillant. Résistant à l’eau et aux acides, le laque constitue une excellente protection et permet toute downloadModeText.vue.download 6 sur 573
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une gamme de décors : peints, sculp-tés, gravés, incrustés.
L’art du laque :
invention chinoise
L’emploi du laque est attesté dès
l’époque Shang (Chang*), mais
son usage à des fins décoratives ne nous est connu que vers la fin des Zhou (Tcheou*), aux environs de
300 av. J.-C. Les fouilles du Henan (Ho-nan) et surtout de la région de Changsha (Tch’ang-cha), au Hunan
(Hou-nan), ont mis au jour des pièces de mobilier, des boucliers, des instruments de musique et des objets rituels peints en rouge, en jaune, parfois en vert sur fond noir. Des personnages et des animaux s’associent à des motifs de volutes et de triangles, inspirés des bronzes incrustés de l’époque.
Sous les Han*, la production est
contrôlée par les ateliers impériaux.
Citons, entre autres, les coupes et les nécessaires de toilette, exécutés pour la plupart au Sichuan (Sseu-tch’ouan) et trouvés en grand nombre en Corée, en Mongolie, au Gansu (Kan-sou) et en Chine du Sud. Sur les coupes, datées entre 85 av. et 71 apr. J.-C., des inscriptions fournissent le nom des artisans et du contrôleur responsable de la fabrication. Peint ou gravé, le décor, très libre, est rehaussé sur les objets de luxe d’incrustations d’argent.
Dès la fin des Han, le développe-
ment de la céramique ralentit la production des laques. Le raffinement des techniques s’affirme néanmoins sous les Tang (T’ang*). Ainsi, les pièces magnifiques conservées au Shōsō-in de Nara* (Japon) depuis 756 révèlent des peintures en jaune et or sur laque blanc ainsi que des incrustations d’or, d’argent, de nacre et d’ambre.
Peu d’objets nous sont parvenus
de la période Song*. Quelques pièces brunes, sans décor, rappellent par leur sobre beauté la qualité des céramiques de l’époque. Les premiers laques
sculptés, travaillés dans des couches de différentes couleurs, apparaissent également. Cependant, les plus beaux exemples datent des Yuan* (XIVe s.) et du début des Ming* (XVe s.). Les laques rouges, dits « de Pékin », sculptés de motifs floraux, de dragons ou de paysages, sont employés jusqu’à l’époque Qing (Ts’ing*), en particulier pour le mobilier.
Au XVIe et au XVIIe s., d’autres formules se développent, comme les
laques « burgautés » avec incrustations de nacre et d’ivoire, les laques d’or inspirés du Japon et les laques incisés où les creux sont emplis d’or et de couleurs. Sous l’empereur Kangxi (K’ang-hi), à la fin du XVIIe s., de splendides armoires, ornées de paysages polychromes rehaussés de reliefs dorés, sont les derniers exemples harmonieux d’un art qui se tourne bientôt vers la surcharge de matières précieuses et le goût de la virtuosité pure. Néanmoins, il faut encore signaler les paravents dits « de Coromandel », très appréciés en Europe aux XVIIe et XVIIIe s., où les décors, plus sobres, sont gravés avant d’être peints sur le fond noir.