, le problème de la propagation d’une onde plane sera possible à résoudre. On va, dans la suite, étudier ces deux cas : on se donnera la direction de polarisation et l’on cherchera quelles sont alors la direction et la vitesse de propagation possibles, ou bien on se donnera la direction de propagation et l’on cherchera quelles sont alors les directions de polarisation et les vitesses possibles.
y Propagation d’une onde plane de direction de polarisation donnée.
L’élimination du vecteur entre les équations ci-dessus conduit à la relation suivante :
où v1, v2 et v3 sont les vitesses principales définies plus haut, et p, q et r les cosinus directeurs du vecteur .
On voit donc que, pour une direction de polarisation donnée, il existe deux vitesses + v et – v possibles. On pourrait obtenir une équation analogue permettant de calculer l’indice en
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La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 16
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fonction des indices principaux n1, n2
et n3, qui est :
On obtient une représentation graphique de ces résultats en faisant intervenir l’ellipsoïde des indices. En effet, si, à partir d’un point O quelconque du milieu, on mène un vecteur
parallèle à et tel que le module de soit égal à l’indice n, les coordonnées de M sont x = pn, y = qn et z = rn dans un repère orthonormé d’origine O. L’équation (4), dans laquelle on remplace pn, qn et rn par x, y et z respectivement, devient l’équation d’une surface appelée ellipsoïde des indices : On montre alors que la normale au point M à cet ellipsoïde est parallèle au champ ; or, on sait, après l’étude de la structure de l’onde, que le vecteur normal est perpendiculaire à et
qu’il est dans le plan Il n’y a
donc qu’une direction de propagation possible pour une onde plane de direction de polarisation donnée.
Si et sont colinéaires, c’est-
à-dire parallèles à un des axes principaux, toute direction perpendiculaire à celle de ces vecteurs est une direction de propagation possible.
y Propagation d’une onde plane de direction de propagation donnée. Il faut, dans ce cas, déterminer les vitesses de propagation possibles ainsi que les directions de propagation. En le système d’équations précédent, on est conduit à l’équation suivante :
α, β et γ étant les cosinus directeurs du vecteur normal . Cette équation est appelée équation de Fresnel. On peut l’écrire en faisant intervenir les indices ; elle devient
L’équation (5) est une équation du second degré en v 2, et l’on montre facilement qu’elle admet toujours deux racines réelles et positives v′ 2 et v″ 2 ; les vitesses possibles sont donc ± v′ et ± v″
(les signes ± indiquant que les deux sens de propagation sont possibles). Il peut donc y avoir propagation d’ondes planes polarisées rectilignement dans toutes les directions. Pour une direction de propagation normale donnée, seules deux vitesses de propagation dans un sens sont possibles. Il reste à déterminer la direction de polarisation de ces vibrations, qui se propagent sans dé-
formation. On montre que, étant donné une direction de propagation, il n’y a dans le plan d’onde correspondant que deux directions de polarisation, orthogonales entre elles, qui
se propagent sans déformation, l’une avec la vitesse v′, l’autre avec la vitesse v″, v′ et v″ étant solutions de l’équation de Fresnel.
En effet, si l’on considère l’ellipsoïde des indices (fig. 4), le plan d’onde coupe cet ellipsoïde suivant une ellipse. Le vecteur , normal à , est dans le plan d’onde ; il doit donc être tangent à cette ellipse et, de plus, perpendiculaire à , c’est-à-dire au rayon vecteur du point courant de l’ellipse.
La seule possibilité d’avoir cette configuration est que soit dirigé suivant l’un des axes de l’ellipse, d’où les deux indices ou les deux vitesses possibles.
Si la conique d’intersection de l’ellipsoïde des indices et du plan d’onde est un cercle, toutes les directions de polarisation sont possibles dans ce plan, l’indice étant égal au rayon du cercle. Il est facile de voir que, dans le cas d’un milieu uniaxe (ellipsoïde de révolution, puisque n1 = n2 = n0), l’une des directions est la projection de l’axe de révolution sur le plan d’onde ; c’est la vibration extraordinaire ; l’autre est orthogonale à l’axe : c’est la vibration ordinaire. On peut repré-
senter graphiquement ces résultats en faisant intervenir une surface appelée
surface des indices. En effet, si l’on considère un vecteur (O étant un
point quelconque du milieu) parallèle au vecteur normal et tel que le module de ce vecteur soit égal à l’indice n, c’est-à-dire tel que les
coordonnées de M sont x = αn, y = βn et z = γn. En éliminant n entre ces relations et l’équation de Fresnel, on trouve que le lieu de M est une surface du quatrième ordre, représentée sur la figure 5 dans le cas d’un milieu biaxe et sur la figure 6 dans le cas d’un milieu uniaxe. La représentation est faite dans la région où x, y et z sont positifs ; la surface complète est symétrique par rapport aux différents plans de coordonnées ; on voit que, dans le cas des milieux biaxes, on aura quatre points coniques tels que I. Les deux vibrations pourront se propager suivant les directions OI avec la même vitesse. Les axes tels que OI sont appelés axes du milieu, d’où le nom de milieu biaxe. Dans le cas des milieux uniaxes, c’est-à-dire tels que n1 = n2 = n0 et n3 = ne, la surface des indices est de révolution et comprend une nappe sphérique de rayon n0
et une nappe ellipsoïdale ; si ne < n0, le milieu est dit « négatif » (c’est le cas du spath), si ne > n0, le milieu est dit
« positif » (c’est le cas du quartz).
Surface d’onde
Les développements précédents permettent de résoudre tous les problèmes de l’optique cristalline. Mais ils ne font pas apparaître la façon dont se propage la phase le long des rayons lumineux.
On peut reprendre le problème précé-
dent en faisant remplir à , vecteur unitaire du rayon lumineux, le rôle que jouait . Pour cela, il suffit de remplacer par son expression en fonction de et de dans l’équation fondamentale (2) établie ci-dessus, et l’on obtient vr étant la vitesse de propagation suivant le rayon ; donc
μ étant l’angle On peut remar-
quer que l’on passe de (2) à (7) en permutant et μ0 , et , v et
On définit alors la surface d’onde comme le lieu des points M tels que La représentation de cette
surface d’onde se déduit de celle de la surface des indices en remplaçant n1
par n2 par et n3 par On peut
démontrer que le plan tangent en M à la surface d’onde est parallèle au plan d’onde se propageant dans la direction radiale OM avec la vitesse vr.
Application à la réfraction
Considérons un dioptre plan séparant l’espace en deux régions : l’une isotrope (air par exemple), l’autre anisotrope uniaxe (spath par exemple). Pour simplifier la construction des rayons réfractés, supposons que l’axe du milieu soit perpendiculaire au plan d’incidence. La construction classique de Huygens montre (fig. 7) l’existence de deux rayons réfractés ; la polarisation de ces rayons est obtenue comme cela a été démontré ci-dessus : la polarisation du rayon extraordinaire est parallèle à la projection de l’axe optique sur le plan d’onde, et la polarisation du rayon ordinaire est orthogonale à celle du rayon extraordinaire.
Application aux lames cristallines à faces parallèles taillées
parallèlement à l’axe
Supposons la lame en quartz, l’axe étant dans le plan de figure et l’incidence normale. En utilisant la construction de Huygens, on voit que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire sont confondus, mais leur polarisation est, pour le premier, perpendiculaire au plan de figure et, pour le second, dans le plan de figure. Si l’on éclaire la lame cristalline par une vibration polarisée rectilignement, on peut décomposer cette vibration en deux vibrations, l’une parallèle au plan d’incidence et l’autre perpendiculaire à ce plan. Ces deux vibrations composantes seront transmises sans déformation, mais avec des vitesses différentes. Après traversée de la lame, elles présenteront une différence de phase