(x, y) ∈ GR x R y.
Exemples de relations
binaires
1. Dans E = F = N, ensemble des entiers naturels, la relation « divise », liant éventuellement x à y, est une relation binaire, notée x|y. On peut représenter, à l’aide de points à coordonnées entières dans un plan xoy, la même relation dans un sous-ensemble fini de l’ensemble N. Ainsi, dans A = {1, 2, ..., 10}, 1 est en relation avec tout élément de l’ensemble A, 2 est en relation avec les éléments pairs, 3 est en relation avec 3, 6 et 9, 4 est en relation avec 4 et 8, 5 est en relation avec 5
et 10, 6, 7, ..., 10 sont en relation avec eux-mêmes. Cela fournit les couples et le graphe.
2. Dans E = F = N, la relation « x est premier avec y » définit une relation binaire. On distingue tout de suite une différence avec la relation « divise » : x|y indique une propriété de x vers y, ce qui est d’ailleurs en accord avec la définition générale d’une relation, le graphe étant formé de couples ordonnés. La relation « x est premier avec y » respecte a priori la notion d’ordre, mais alors y est premier avec x, et la relation va de x vers y et de y vers x, ce qui est une propriété particulière.
3. Dans E = F = R, « x est le carré de y » définit une relation binaire. Par exemple, (4, 2) et (4, – 2) sont deux éléments du graphe de cette relation.
Calcul des relations
binaires
La relation vide est celle qui n’est véri-fiée par aucun couple, c’est-à-dire celle dont le graphe est l’ensemble vide.
La relation universelle, au contraire, est vérifiée par tous les couples du produit E × F. Son graphe est E × F.
R désignant une relation de l’en-
semble E vers l’ensemble F, la négation de R est la relation vérifiée par les couples (x, y) du produit E × F, qui n’appartiennent pas au graphe de R.
Le graphe de la négation de R est le complémentaire, dans E × F, du graphe
de R.
La relation inverse ou réciproque de la relation R de l’ensemble E vers l’ensemble F est la relation, notée R– 1
telle que y R– 1 x x R y. Par exemple, si, dans E = F = N, R désigne la relation
« divise », la relation inverse est « est multiple de ». En effet, x divise y si et seulement si y est multiple de x. Il est clair que (R–1)– 1 = R.
Deux relations sont égales si elles sont vérifiées par les mêmes couples, c’est-à-dire si elles ont même graphe.
La relation R est incluse dans la relation R′, ou R implique R′ (R R′) si le graphe de R est inclus dans celui de R′ : tout couple (x, y) vérifiant la relation R
vérifie aussi la relation R′. On dit aussi que la relation R est plus fine que la relation R′.
Si R1 et R2 sont deux relations de l’ensemble E vers l’ensemble F, l’intersection de R1 et de R2 est la relation telle que et x R2 y.
Le graphe de l’intersection est l’intersection des graphes de R1 et de R2.
De même, on définit la réunion
de R1 etR2, telle que ou
x R2 y. Il suffit que x et y soient en relation par l’une des deux relations R1 ou R2 pour que x soit en relation avec y par la relation .
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La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 16
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Toutes ces opérations sur les relations ne sont que des transcriptions des opérations dans un ensemble.
Si, dans trois ensembles E, F et H, R
est une relation de l’ensemble E vers l’ensemble F et une relation de F
vers H, la relation-produit, ou relation composée, de R par , notée
est définie comme la relation de E vers H telle que x ∈ E, z ∈ H, si
et seulement s’il existe y ∈ F tel que x R y et Si K est un quatrième
ensemble et une relation de H vers
K, le produit des relations R, et est associatif, c’est-à-dire que l’on a Propriétés éventuelles
d’une relation binaire
dans un ensemble E
Une relation binaire R dans un ensemble E est :
— réflexive si x R x pour tout élément x de l’ensemble E ;
— symétrique si x R y entraîne y R x ;
— antiréflexive si pour tout élé-
ment x de l’ensemble E, indiquant la négation de la relation R ;
— antisymétrique ou propre si x R y et y R x entraînent x = y (sous une autre forme, si x ≠ y et x R y, ) ;
— transitive si x R y et y R z entraînent x R z ;
— totale si entraîne y R x [quel
que soit le couple (x, y), on a au moins l’une des deux relations x R y ou y R x] ;
— circulaire si x R y et y R z entraînent z R x.
EXEMPLES
1. Dans l’ensemble N, la relation « divise » est réflexive, antisymétrique et transitive.
En effet, quel que soit l’élément x appartenant à l’ensemble N, x divise x. D’autre part, si x|y, y = xx′, x′ ∈ N
et si y|x, yy′ = x, y′ ∈ N, il en résulte que y = yy′x. D’où, puisque tous les nombres utilisés appartiennent à l’ensemble N, y′x′ = 1 et, pour la même raison, y′ = x′ = 1 et y = x.
Enfin, si x|y et y|z, y = xx′ et z = yy′ ; d’où z = xx′y′ = xx″, ce qui en traîne x|z.
2. Dans l’ensemble R, la relation
« strictement inférieur à » est antisymétrique et transitive.
En effet, si x < y, on n’a pas y < x. De plus, x < y et y < z entraînent x < z.
3. Dans l’ensemble R, la relation « in-férieur ou égal à » est réflexive, antisymétrique, transitive et totale.
En effet, pour tout élément x de l’ensemble R, on a puisque x = x.
Si et on a Si
et on a x = y. Enfin,
étant donnés deux nombres réels quelconques x et y, on peut toujours les comparer en utilisant la relation , car ou bien x = y ou bien x ≠ y, et alors x < y ou y < x.
Relations d’équivalence
dans un ensemble E
Une relation d’équivalence est une relation binaire dans un ensemble E, réflexive, symétrique, transitive.
EXEMPLE
Dans l’ensemble Z des entiers relatifs, la relation R définie par
x R y Ǝ k ∈ Z : x – y = kp
(p étant un entier naturel donné) est une relation d’équivalence.
En effet, x R x, car x – x = o = op. De plus, x R y x – y = kp y – x = (– k) p = k′p, k′ = – k ; d’ou y R x. Enfin, si x R y et y R z, c’est-à-dire si x – y = kp et y – z = k′p, en ajoutant ces deux égalités membre à membre, on obtient x – z = (k + k′) = k″p ; donc x R z.
Cette relation est appelée congruence arithmétique modulo p. Elle est susceptible d’applications en arithmétique.
Classes d’équivalence
Dans un ensemble E muni d’une
relation d’équivalence R, la classe d’équivalence de l’élément a de l’ensemble E est formée des éléments x de l’ensemble E qui sont en relation avec a : A = {x ∈ E, x R a}. Il est équivalent d’écrire x R a ou a R x, puisque la relation R est symétrique. Comme, de plus, la relation R est transitive, la classe A est aussi celle de n’importe lequel de ses éléments, et tous les élé-
ments de la classe A sont en relation deux à deux. Si b est un élément de l’ensemble E n’appartenant pas à A, la classe B de l’élément b est distincte de celle de l’élément a, et l’on a : A ∩ B = Ø. Il est impossible que deux classes distinctes aient un élément commun, sinon elles seraient confondues. La relation R détermine donc une partition de l’ensemble E, c’est-à-dire un partage de l’ensemble E en classes d’équivalence, non vides, deux à deux disjointes et dont la réunion est égale à l’ensemble E.
La notion de classe d’équivalence est très importante en raison de la partition réalisée par les classes. L’ensemble, noté E/R, appelé ensemble quotient de E par R est constitué par les classes d’équivalence, qui sont des parties de l’ensemble E, mais qui deviennent les éléments de E/R. Grâce à des relations d’équivalence, on peut obtenir de nouveaux ensembles. Cette méthode est féconde, notamment en théorie des groupes et aboutit à des résultats très appréciés.