EXEMPLE
Dans une congruence arithmétique, on choisit p = 5 : x R y x – y = 5 k, dans Z. On trouve cinq classes d’équivalence, qui sont les classes des éléments 0, 1, 2, 3, 4. Elles correspondent de façon biunivoque au reste de la division d’un nombre par cinq. L’ensemble quotient, noté ici Z/5Z, peut être doté d’une addition et d’une multiplication induites des opérations de Z et qui confèrent à Z/5Z une structure de corps.
Cet exemple montre l’intérêt des relations d’équivalence.
Relations d’ordre dans un
ensemble E
Une relation d’ordre au sens strict est une relation binaire antisymétrique et transitive : dans R, la relation <,
« strictement inférieure à », est une relation d’ordre strict.
Une relation d’ordre au sens large est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive : dans R, la relation « inférieur ou égal à », est une relation d’ordre large.
Un ordre strict est donc un ordre qui ne permet pas la comparaison d’un élément avec lui-même. Un tel ordre paraît normal dans la vie courante. En effet, il semble dérisoire de dire que x est meilleur que lui-même. Cependant, les mathématiques utilisent de préfé-
rence les relations d’ordre réflexives, car elles permettent un vocabulaire plus adéquat et rendent certaines propriétés ou démonstrations plus souples.
Vocabulaire des
ensembles ordonnés
Un ordre est total dans un ensemble E
si deux éléments quelconques de cet ensemble sont comparables. Dans le cas contraire, l’ordre est dit partiel.
Dans N, la relation « divise » est une relation d’ordre partiel.
Si R définit un ordre sur l’en-
semble E, la relation R′, réciproque de R, définit sur cet ensemble l’ordre dual.
Dans l’ensemble E, la relation R
s’énonçant « inférieur ou égal à » (dualement « supérieur ou égal »), x est un minorant de y si et seulement si x R y (dualement majorant).
L’élément a de l’ensemble E est
minorant universel (dualement majorant) si l’élément a est inférieur ou égal (dualement supérieur ou égal) à tous les éléments de l’ensemble E.
On dit que y succède à x (ou couvre x) si y est un majorant de x, distinct de x et tel qu’il n’existe aucun élément de l’ensemble E vérifiant la double iné-
galité t ≠ x et t ≠ y. On dit
aussi que y est le suivant de x ou est consécutif à x. La notion duale est celle de prédécesseur. Si A est une partie d’un ensemble ordonné E muni d’un ordre réflexif, l’élément a appartenant à A est dit maximal (respectivement minimal) s’il n’a aucun majorant dans A (respectivement minorant) en dehors de lui-même. Ainsi, l’ensemble
{2, 3, 6, 9, 12, 18}, sous-ensemble de N, muni de la relation de divisibilité, possède deux éléments maximaux, 12
et 18, puis deux éléments minimaux,
3 et 2.
Un élément a d’une partie A d’un
ensemble ordonné E est dit maximum (dualement minimum), s’il majore
(dualement minore) tous les élé-
ments de la partie A. En particulier, si l’ensemble E possède un majorant universel (dualement minorant), cet élément est maximum (dualement minimum) dans l’ensemble E. La partie downloadModeText.vue.download 626 sur 651
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 16
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A = {2, 3, 6, 9, 12, 18} n’a ni élément maximum, ni élément minimum. La
partie B = {2, 3, 6, 9, 18} a un élément maximum, 18, mais n’a pas d’élément minimum. La partie C = {2, 6, 18} a un élément minimum, 2, et un élément maximum, 18.
Enfin, un ordre total est dit bon sur un ensemble E si toute partie de cet ensemble, y compris E, possède un élé-
ment minimum. L’ensemble est alors dit bien ordonné.
L’étude des ensembles ordonnés est extrêmement féconde et conduit à étudier des ensembles ordonnés particuliers, les treillis, dont les applications sont particulièrement nombreuses.
E. S.
F Anneau / Application / Ensemble / Graphes (théorie des) / Groupe / N / R / Z.
P. Dubreil, Algèbre, t. I : Équivalences, opérations, groupes, anneaux et corps (Gauthier-Villars, 1946 ; 3e éd., 1963). / P. Dubreil et M. L. Dubreil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961 ; 2e éd., 1964). / M. Barbut, Mathématiques des sciences humaines, t. I : Combinatoire et algèbre (P. U. F., 1967). / G. Casanova, l’Algèbre de Boole (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1967 ; 3e éd., 1972). / A. Kaufmann, Des points et des flèches, la théorie des graphes (Dunod, 1968 ; nouv. éd., 1970). / M. Barbut et B. Monjardet, Ordre et classification, algèbre et combinatoire (Hachette, 1970). / A. Bouvier, la Théorie des ensembles (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1970 ; 3e éd., 1972).
relations
publiques
Ensemble des actions menées par
une entreprise, une profession, une collectivité publique ou privée pour créer ou entretenir des relations de sympathie, de compréhension avec
tous les groupes qui constituent son environnement.
Les relations publiques se sont introduites en France vers 1950 et, comme de nombreuses techniques de direction* ou de marketing*, elles viennent des États-Unis.
Relations publiques et
publicité
Il faut distinguer les relations publiques de la publicité. Le but de la publicité est de préparer et de faciliter la vente d’un bien ou d’un service ; celui des relations publiques est de gagner la sympathie du public à une entreprise ou à une collectivité. C’est ainsi qu’une publicité pour un lave-vaisselle insistera sur la robustesse, les résultats, l’élégance de ligne de cet appareil ; le message cherche à inciter à acheter.
Pour la même entreprise, on mettra en valeur par les relations publiques la participation du lave-vaisselle à l’élé-
vation du niveau de vie, sa contribution à la libération de la femme, mais il n’y aura pas de message direct de vente.
Cette distinction est importante, car les relations publiques sont une notion un peu ambiguë dans la mesure où
elles empruntent en partie les mêmes moyens que la publicité et où elles émanent généralement d’entreprises dont l’existence semble avant tout liée à des aspects « mercantiles ».
Les relations publiques contribuent à la création ou à la modification de l’image de marque*.
Il ne faut pas les confondre avec la publicité institutionnelle, qui présente, elle aussi, la firme dans son ensemble, le but commercial de vente ne venant qu’au second plan, mais qui achète les espaces publicitaires, ce qui n’est pas le cas pour les relations publiques.
Qui influencer par les
relations publiques ?
Toute institution pour atteindre ses objectifs est dépendante d’un certain nombre de groupes ; ce sont ces groupes que les relations publiques visent à influencer en leur communiquant des informations, pour les persuader que tous ces objectifs sont en concordance avec l’intérêt général. Il est certain qu’on ne peut tromper tout le monde tout le temps et que le propre de bonnes relations publiques est de ne jamais diffuser des informations fausses. Les relations publiques cher-cheront à toucher les futurs consommateurs, les détaillants et grossistes, le personnel même de l’entreprise, ses fournisseurs, ses actionnaires, ses banquiers, les services officiels locaux tels que les municipalités, l’État et tous les tiers intéressés de près ou de loin à son activité.
Comment influencer ces
groupes ?
Les consommateurs futurs ont besoin de savoir ce qu’est le produit, comment il doit être utilisé. L’information pourra être transmise dans certains cas par l’intermédiaire des écoles professionnelles, par des notices, des films éducatifs. Le réseau de vente doit être convaincu que la société et lui-même travaillent dans le même sens et ont à défendre des intérêts communs. Il peut être bon, par exemple, de faire état des développements de l’entreprise, de ses orientations. C’est aussi une force pour une firme que d’avoir de bonnes relations avec ses fournisseurs, de les informer de ses réalisations, de ses projets, etc. L’intérêt de l’information au personnel de la firme est évident.