professeur à l’École polytechnique fédé-
rale de Zurich, il compte parmi ses élèves le physicien Albert Einstein, puis, en 1902, il enseigne jusqu’à sa mort à l’université de Göttingen. Dans sa Géométrie der Zahlen, parue en 1896, il utilise des considérations géométriques en théorie des nombres. Son grand mérite est d’avoir mis sous une forme mathématique la relativité restreinte. Le premier, il a vu clairement que les équations fondamentales pour les corps en mouvement sont complètement déterminées par le principe de la relativité si l’on admet la théorie de Maxwell pour les corps en repos. Enfin, il a donné à ces équations leur expression définitive. Parmi ses oeuvres figurent également Diophantische Approximationen (1907) et Gesammelte Abhandlungen (1911).
J. I.
Invariance de la vitesse de
la lumière, expérience de
Michelson-Morley L’invariance de la vitesse de la lu-mière c dans les différents systèmes de référence, qui est souvent considérée comme un postulat de la relativité restreinte, en est en fait une conséquence.
En effet, les équations de Maxwell de l’électrodynamique, établies à partir de l’expérience et qui contiennent toutes les lois de l’électromagnétisme, renferment une quantité c qui est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide, dans le système d’inertie de l’expérimentateur, mais qui peut aussi être déterminée indépendamment à partir des mesures purement électromagnétiques. D’après le principe de relativité, ces mesures doivent donner le même résultat quel que soit le système de référence : donc la vitesse de la lumière est invariante. Cela est en désaccord certain avec les concepts cinématiques usuels. Cependant, l’ex-périence célèbre de Michelson-Morley, en fait antérieure à l’énoncé de la relativité restreinte, puisqu’elle fut faite en 1881, puis refaite sous une forme moins critiquable en 1887, et d’autres expériences du même type ont fourni une confirmation éclatante de l’invariance de la vitesse de la lumière.
Cinématique relativiste
La constance de la vitesse de la lumière, impliquée par le principe de relativité, est, nous l’avons dit, en désaccord avec la cinématique et la mécanique classique (au moins pour les grandes vitesses), et nécessite l’introduction d’une nouvelle cinématique. On est, en particulier, obligé de faire intervenir de nouvelles propriétés de l’espace et du temps, décrites par la transformation de Lorentz, qui doit remplacer la transformation de Galilée, dont on a parlé plus haut. Voici comment on l’établit. Soit deux systèmes d’inertie S et S′ définis par des axes Ox, Oy, Oz et O′x′, O′y′, O′z′, parallèles, S′ étant animé de la vitesse v par rapport à S.
Supposons, d’autre part, que les origines O et O′ de S et de S′ respectivement ont coïncidé au temps t = t′ = 0, t étant le temps dans S et t′ le temps dans S′. Soit un point A ; ses coordonnées sont x, y, z dans S et x′, y′, z′ dans S′ ; supposons qu’il envoie un éclair
lumineux au moment où O et O′ sont confondus. Un observateur situé en O
verra l’éclair après un temps t tel que
– c2t 2 + x2 + y2 + z2 = 0 ; de même, un observateur situé en O′ le verra après un temps t′ tel que
– c2t′ 2 + x′ 2 + y′ 2 + z′ 2 = 0
(c étant le même dans les deux
systèmes).
On a donc entre les coordonnées
spatiales et temporelles d’un point dans les systèmes S et S′ la relation
– c2dt 2 + x2 + y2 + z2 = – c2dt′ 2 + x′ 2 +
y′ 2 + z′ 2.
On en déduit les formules de Lorentz : qui donnent les relations cherchées entre les coordonnées et le temps des deux systèmes d’inertie ; on remarque que, pour cette transformation
de Lorentz se réduit à la transformation de Galilée.
Les vitesses ne se composent plus comme en cinématique newtonienne.
C’est ainsi qu’un point ayant la vitesse de composantes ux, uy, uz dans le système S aura par rapport au système S′
une vitesse de composantes :
expressions qui se réduisent aux expressions newtoniennes si
On peut déduire de la transformation de Lorentz d’intéressantes conclusions.
L’une concerne le fait qu’une barre alignée selon la vitesse v et appartenant au système S′ apparaît plus courte à un observateur du système S qu’à un observateur du système S′. En effet, si et sont les coordonnées des extrémi-tés dans le système S′, la longueur dans ce système est Dans le système S, il est naturel de supposer que l’observateur mesure simultanément (c’est-à-dire au même temps t de son système S) la longueur de la barre dans S, qui sera donc l = x2(t) – x1(t) ; en utilisant la transformation de Lorentz, qui relie à x2(t) et à x1(t), on trouve facilement que : la barre
paraît donc plus courte à un observa-
teur de S, par rapport auquel elle est en mouvement, qu’à un observateur de S′.
Une autre conséquence de la ciné-
matique relativiste est qu’une horloge en mouvement avec S′ paraît marcher plus lentement pour un observateur de S qu’une horloge identique au repos, et ce, quel que soit le sens de sa vitesse v : le retard est d’un facteur Il
existe des vérifications expérimentales de cette « dilatation du temps » ; c’est ainsi que les mésons, particules instables et très rapides du rayonnement cosmique fabriquées dans la haute atmosphère à partir des particules cosmiques primaires, et dont la durée de vie est bien connue par des mesures au laboratoire sur des mésons au repos, parcourent dans l’atmosphère, avant de se désintégrer, une longueur plus grande que ne le laisserait prévoir cette durée de vie : c’est qu’en raison de leur vitesse leur durée de vie vue de la Terre est plus grande que celle qui est mesurée sur des mésons au repos. La
« dilatation du temps » conduit aussi à un paradoxe apparent appelé souvent paradoxe du voyageur de Langevin.
Elle prévoit qu’une horloge ayant été transportée à grande vitesse marquera à son retour au point de départ une heure antérieure à l’indication d’une horloge identique restée sur place (ou un jumeau ayant fait un tel voyage revien-downloadModeText.vue.download 628 sur 651
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 16
9313
dra plus jeune que son frère). Cependant, ce paradoxe a fait l’objet de nombreuses discussions et ne peut être, en fait, résolu dans le cadre de la relativité restreinte, car celle-ci ne prévoit pas ce qui se passe pendant les phases d’accé-
lération et de décélération qui existent nécessairement pendant le voyage. La relativité générale permet de traiter le problème complètement et montre que l’horloge en mouvement a mesuré après son voyage un temps plus petit que l’horloge fixe. L’expérience a été effectivement réalisée récemment en transportant en avion des étalons atomiques et en les comparant aux étalons restés au sol, et elle a donné une différence mesurée avec une faible pré-
cision relative, mais en accord avec la théorie. Cet accord n’est cependant pas une preuve sans ambiguïté de la validité de la relativité restreinte, ni d’ailleurs de la relativité générale.
Dynamique relativiste
Dans la transformation de Lorentz, les lois classiques de la mécanique newtonienne ne sont conservées qu’en première approximation et valables qu’aux faibles vitesses. La relativité restreinte permet d’établir des lois plus exactes.
On peut, en particulier, montrer que la masse d’une particule dépend de sa vitesse de la façon suivante : la quantité de mouvement d’une particule est définie dans un système S comme le produit de sa masse m par sa vitesse dans ce système :