« durs » (chaîne ramifiée, chaîne riche en groupes oxyéthyléniques) et en produits
« doux ». Ces derniers correspondent aux chaînes linéaires des sulfates alkylaryles, ce qui oriente les fabrications vers les matières premières dérivées d’alcools en chaîne droite naturels ou obtenues soit par la réduction d’esters ou de glycérides aliphatiques, soit par l’application du procédé Ziegler.
M.-Th. F.
M.-Th. F.
F Savon.
A. M. Schwartz et J. W. Perry, Surface Active Agents. Their Chemistry and Technology (New York, 1949 ; nouv. éd. Surface Active Agents and Detergents, 1958 ; 2 vol. ; trad. fr. Chimie et technologie des agents tensio-actifs, Dunod, 1955). / J. P. Sisley, Index des huiles sutfonées et détergents modernes (Teintex, 1949-1954 ; 2 vol.). / J. Bergeron, Savons et détergents (A. Colin, 1952). / G. Dupont, V. Grignard et R. Locquin (sous la dir. de), Traité de chimie organique, t. XXII (Masson, 1953). / K. Winnac-ker et L. Küchler, Chemische Technologie, t. IV
(Munich, 1959 ; trad. fr. Traité de chimie appliquée, t. VII : Chimie organique, Eyrolles, 1968). /
L. Reinhold, Organinometallic Chemistry (New York, 1960). / H. Normant, Chimie organique (Masson, 1963 ; 2e éd., 1968). / G. E. Coates et coll., Principles of Organometallic Chemistry (New York, 1968 ; trad. fr. les Bases de la chimie des composés organométalliques (Gauthier-Villars, 1970). / C. X. Cornu, les Savons et les détergents (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1970).
/ N. Schonfeldt, Surface Active Etylene Oxide Adducts (Oxford, 1970).
déterminant
Scalaire d’un corps commutatif K qui, noté
étant n vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K, vérifie les conditions suivantes :
1o Si l’on échange deux quelconques des vecteurs D est
changé en – D ;
2o Si on a l’égalité
3o Si λ est un scalaire quelconque de K, 4o Le déterminant des n vecteurs de base de l’espace E est
Existence et unicité
De cette définition descriptive, on peut tirer quelques conséquences simples qui permettent de montrer l’existence y Si l’un des vecteurs est nul, D
est nul ; cela résulte de la 3e condition où l’on prend
λ = 0.
y Si deux vecteurs, et sont
identiques, D est nul ; cela résulte de
la 1re condition, car D = – D.
y Le déterminant D ne change pas
si on ajoute à un vecteur, une
combinaison linéaire des n – 1 autres et l’unicité du déterminant
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La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 7
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vecteurs. Par exemple, si on remplace par
on ajoute, au déterminant D, n – 1 dé-
terminants nuls, car ils ont tous deux vecteurs égaux.
y Si les n vecteurs sont
linéairement dépendants, D est nul.
Par exemple, si
D est une somme de n – 1 déterminants nuls.
y Si est l’expression de
dans la base
ce dernier résultat s’obtient par application itérée des 2e et 3e propriétés ; le dernier signe somme, Σ, porte sur nn termes.
Parmi ces nn termes, seuls sont dif-férents de zéro ceux pour lesquels α1, α2, ..., αn sont deux à deux distincts. En effet, le déterminant
n’est différent de zéro que si tous les vecteurs qui y figurent sont distincts.
Il y a donc n! déterminants non nuls, chacun d’eux correspondant à une
permutation des indices 1, 2, ..., n des vecteurs de base. De plus, on passe du déterminant
au déterminant en
opérant un certain nombre d’échanges sur les vecteurs de base. Le déterminant est donc
égal, au signe près, au déterminant
puisque l’échange de deux vecteurs ne modifie que le signe.
Ce signe est « plus » ou « moins » suivant qu’on opère un nombre pair ou impair de transpositions ; il est donc donné par le signe de
I(α1, α2, ..., αn) désignant le nombre d’inversions que représente la permutation (α1, α2, ..., αn) par rapport à la permutation (1, 2, ..., n). C’est ainsi que la permutation 1, 3, 4, 2 présente deux inversions, car 3 et 4 sont avant 2. On a donc
Le déterminant D, s’il existe, a donc nécessairement pour valeur
Cette somme est un scalaire de K,
dont on peut vérifier qu’il satisfait aux quatre conditions de la définition. Ce qui montre l’existence et l’unicité du déterminant D.
Notation
Le déterminant est
noté
où, dans chaque colonne, on range les coordonnées d’un vecteur pour
i = 1, 2, ..., n ; les sont les éléments de D ; D est d’ordre n.
Développement d’un
déterminant suivant
les éléments d’une
colonne ou d’une ligne
Le déterminant est la
somme de n! produits obtenus en prenant un élément dans chaque ligne et dans chaque colonne. On peut grouper tous les termes qui contiennent un élément déterminé, en facteur ; soit Puis, pour la valeur i fixée, on peut faire varier le nombre j de 1
à n, c’est-à-dire, pour chaque élé-
ment de la i-ème colonne, regrouper tous les termes du déterminant D qui contiennent cet élément en facteur.
On obtient ainsi le développement du déterminant D suivant les éléments de la i-ème colonne :
On démontre assez simplement que
étant le déterminant obtenu en
supprimant dans D la i-ème colonne et la j-ième ligne ; est d’ordre n – 1 ; c’est un mineur d’ordre n – 1 ; est le cofacteur de
On peut aussi développer D suivant les éléments d’une ligne
pour j fixé. D’ailleurs, un déterminant ne change pas quand on effectue sur ses éléments une symétrie par rapport à la diagonale principale (diagonale contenant les termes i = 1, 2, ..., n), ce qui revient à échanger les lignes et les colonnes.
Exemples de développements
de déterminants
Les calculs se font en utilisant les propriétés des déterminants qui découlent de la définition et de ses conséquences ; la plus importante est la 3e propriété, qui permet, dans certains cas, de faire apparaître des zéros dans le déterminant, ce qui annule des termes dans son développement.
Il est inutile pour ce déterminant d’ordre trois d’essayer de faire apparaître d’autres zéros ; on peut le développer, comme ci-dessus, suivant les éléments de la première colonne.
d’où D4(x) = (4 + x)x 3.
On passe du premier déterminant au
deuxième en ajoutant, aux éléments de la première colonne, les éléments correspondants des autres colonnes du deuxième au
troisième en mettant 4 + x en facteur et du troisième au quatrième en retranchant aux éléments des trois dernières lignes les éléments correspondants de la première ligne, ce qui fait apparaître des zéros qui permettent le développement du déterminant suivant les élé-
ments de la première colonne.
3o Déterminant de Vandermonde
Dn est un polynôme en a, b, ..., l, qui s’annule pour a = b, donc divisible par a – b ; puis pour a = c, donc divisible par (a – b) (a – c) si b ≠ c ; etc. ; en supposant que a, b, c, ..., l sont deux à deux distincts (seul cas intéressant, car si deux des nombres a, b, c, ..., l sont égaux, on a Dn = 0 comme ayant deux lignes identiques), on voit que
On montre que .
Usage des déterminants
Les déterminants servent à la résolution des systèmes d’équations linéaires.