y Système de Cramer. C’est le sys-
tème le plus général de n équations à n inconnues dont le déterminant
des vecteurs colonnes est différent de zéro ; soit
Sous forme vectorielle, ce système s’écrit
x1, x2, ..., xn étant les n inconnues.
Il y a une solution unique donnée par dans le numérateur de xi, est mis à la place de
y Système quelconque. C’est un sys-tème de n équations à p inconnues, soit, sous forme vectorielle :
On appelle rang du système l’ordre d’un déterminant non nul d’ordre le plus élevé possible extrait de la matrice des coefficients du système. Ce déterminant n’est pas nécessairement unique, mais l’ordre est unique. On appelle principal un déterminant dont l’ordre est égal au rang du système.
Soit
un déterminant principal (on ne restreint pas la généralité en indiquant que les coefficients de Δ sont ceux des r premières inconnues, dans les r premières équations) ; ces r inconnues sont dites « principales », ainsi que les équations correspondantes. On appelle caractéristique un déterminant tel que obtenu en bordant inférieurement Δ par les coefficients des inconnues principales de la (r + j)i-ème équation, et à droite par les composantes de sur
les vecteurs de base
Théorème de Rouché et Fontené
Pour qu’un système d’équations
linéaires admette des solutions, il faut et il suffit que tous ses déterminants caractéristiques soient nuls. On obtient alors toutes les solutions du système en résolvant, par rapport aux inconnues principales, le système de Cramer formé par les équations principales dans lesquelles on donne aux downloadModeText.vue.download 19 sur 591
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 7
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inconnues non principales des valeurs arbitraires.
Exemple de résolution de système.
a, b, c et m étant des paramètres.
y Si m ≠ 0 et ≠ 2, D ≠ 0 ; le système est de Cramer ; il y a une solution unique :
y Si m = 0, le système (S) se réduit à un système équivalant à
qui est impossible si a + b ≠ c ; si a + b = c, on a, par exemple, x indéterminé ; y = c – 3x ; z = b – x.
y Si m = 2, le système (S) se réduit à On peut prendre comme inconnues
principales x et y et comme équations principales les deux premières ; on trouve le
système est alors impossible ou indé-
terminé (z arbitraire), suivant que le déterminant caractéristique
est différent de zéro ou nul.
E. S.
F Matrice / Vectoriel (espace).
G. Casanova, Mathématiques spéciales, t. 1 : Algèbre linéaire, espaces-vecteurs (Belin, 1957 ; nouv. éd., 1963). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, t. I : Algèbre (Masson, 1974).
Quelques grands noms
dans l’histoire des
déterminants
Erik Ivar Fredholm, mathématicien
suédois (Stockholm 1866 - Mörby
1927). Professeur de physique mathé-
matique á l’université de Stockholm, il a laissé son nom à un type d’équations
« intégrales » qu’il a étudiées dans un mémoire paru en 1903. Une abondante littérature où figurent les auteurs les plus prestigieux, comme David Hilbert (1862-1943), a suivi la parution de ce mémoire. Dans la théorie du potentiel, un problème célèbre, dit « de Dirichlet », fut abordé en 1877 par Carl Neumann (1832-1925) au moyen d’une
« équation intégrale ». L’équation de
Fredholm est de ce type : K(x,s) et f(x) étant des fonctions données ainsi que le paramètre λ et les nombres a et b, on cherche une fonction φ(x) telle que Remplaçant l’intégrale définie par une somme discrète, Fredholm est conduit à la résolution d’un système d’équations linéaires. Cette résolution mène à l’étude de déterminants en λ. Un passage à la limite donne la fonction φ (x,λ) cherchée, fonction méromorphe en λ.
George Salmon, mathématicien irlandais (Dublin 1819 - id. 1904). Professeur de mathématiques au Trinity College de Dublin de 1848 à 1866, il y enseigne ensuite la théologie jusqu’en 1888. Ses ouvrages de géométrie et d’algèbre, modernes (notamment
Conics Sections [1848], Higher Plane Curves [1852], Modern Higher Alge-bra [1859], Analytic Geometry of Three Dimensions [1862]), élégants et clairs, ont eu une grande influence sur l’enseignement et ont été traduits en plusieurs langues. Il y concilie la géométrie analytique de René Descartes (1596-1650) avec la géométrie projective de Gérard Desargues (1593-1662) et de Blaise Pascal (1623-1662). Son Traité d’al-gèbre supérieure, où la théorie de l’élimination est traitée à fond, contient une exposition complète de la théorie des déterminants.
Pierre Sarrus, mathématicien français (Saint-Affrique 1798 - id. 1861). Longtemps professeur d’analyse à la faculté des sciences de Strasbourg, il s’est occupé de l’élimination d’une inconnue entre deux équations algébriques. Il a apporté une importante contribution au calcul des variations et obtenu en 1842
le grand prix des mathématiques de l’Académie des sciences à la suite d’un mémoire sur ce sujet. Son nom reste attaché à un procédé de calcul des déterminants d’ordre trois (règle de Sarrus).
James Joseph Sylvester, mathémati-
cien britannique (Londres 1814 - id.
1897). D’origine juive, James Joseph ne prend que tardivement le patro-nyme de Sylvester. Admis en 1833 à Cambridge au Saint John’s College, il n’est pas autorisé à prendre ses grades universitaires, pour des questions de religion. En 1838, il obtient une chaire
de philosophie naturelle à Londres et devient membre de la Royal Society. En 1841, il n’occupe que trois mois une chaire de l’université de Virginie en raison de son attitude antiesclavagiste et rentre en Angleterre, où il se lance dans les affaires, puis s’inscrit au barreau et se lie avec Arthur Cayley (1821-1895). Il enseigne les mathématiques à l’école militaire de Woolwich de 1855
à 1870, puis à l’université de Baltimore, où il fonde l’American Journal of Mathematics. Il succède à H. J. S. Smith (1826-1883) dans la chaire savilienne de l’université d’Oxford, où il exerce jusqu’en 1892. L’oeuvre algébrique de Sylvester, comme celle de Cayley, est considérable. On lui doit les notions et les mots d’invariant, de covariant, de contravariant, etc. Il utilise avec dexté-
rité le calcul des déterminants, et son nom reste attaché à la méthode « dialy-tique » d’élimination.
J. I.
déterminisme
F CAUSALITÉ.
détonation
Mode de propagation des explosions chimiques par une onde de choc.
Historique
La détonation ne fut tout d’abord
connue que comme une explosion à
propagation extrêmement rapide, dé-
clenchée par l’emploi d’une amorce suffisante, et qui, en raison de sa rapidité, peut produire des effets brisants très différents de ceux des déflagrations d’explosifs solides. La vitesse de la détonation des explosifs fut d’abord mesurée, non sans difficulté, au moyen des chronographes servant à mesurer la vitesse des projectiles. Sir Frederick Augustus Abel (1827-1902) trouva
ainsi, en 1874, que le coton-poudre dé-
tone à une vitesse de 5 300 à 6 800 m/s, vitesse d’autant plus élevée qu’il a été porté par compression à une densité plus forte. Il constata que, à une densité donnée, le coton-poudre renfermant 15 p. 100 d’eau détone plus vite que le même explosif sec, ce qui parut paradoxal, mais fut expliqué ultérieurement
par la théorie. Par la suite, l’ingénieuse méthode inventée en 1906 par Henri Dautriche (1876-1915) rendit facile la mesure de la vitesse de détonation, que les compteurs électroniques modernes permettent de faire avec une précision de 0,2 p. 100. Cependant c’est par l’étude des explosifs gazeux que l’on a reconnu les caractères de la détonation et pu en faire la théorie, après que Mar-celin Berthelot (1827-1907) et Paul Vieille (1854-1934) d’une part, Ernest Mallard (1833-1894) et Henry Le Chatelier (1850-1936) d’autre part, eurent découvert indépendamment, en 1881, la détonation dans les gaz.