« A inter B » ; le signe ∩ est celui de l’intersection.
y Union ou réunion de deux parties A et B. C’est la partie D de E obtenue en réunissant tous les éléments de A taire de A dans E. On a A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = E ; de plus, ∁(∁A) = A.
Le complémentaire de la réunion de deux parties est l’intersection de leurs complémentaires
et de B ; on note D = A ∪ B et on lit
« A union B » ; le signe ∪ est celui de l’union.
y Différence de A et de B. C’est la partie de E formée des éléments de A qui n’appartiennent pas à B ; on la note A – B.
y Différence symétrique de A et de B.
C’est la partie notée A ∆ B (on lit A delta B), définie par
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A).
Propriétés des opérations dans
y L’intersection et la réunion sont commutatives, associatives et idempo-tentes, car, A, B et C étant trois parties quelconques d’un ensemble E, on a : A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
(commutativité),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩
B ∩ C
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪
B ∪ C (associativité),
A ∩ A = A, A ∪ A = A
(idempotence).
De plus, l’une de ces deux opérations est distributive par rapport à l’autre : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
On démontre ces deux égalités en montrant que, pour qu’un élément appartienne au premier membre, il faut et il suffit qu’il appartienne au second.
y La différence n’est pas commutative.
Si A ⊂ E, E – A est formé des élé-
ments de E qui n’appartiennent pas à A ; on note E – A = ∁EA (on lit « complémentaire de A dans E ») ou simplement ∁A ou Ā (A barre) quand il n’y a pas de doute sur l’ensemble de réfé-
rence E. Ā est la partie complémen-Le complémentaire de l’intersection est la réunion des complémentaires
y La différence symétrique est commutative ; elle peut aussi s’écrire Partition d’un ensemble
On appelle ainsi toute famille de parties A1, A2, ..., Ai, ..., où i ∈ I d’un ensemble E telle que
Aucune des parties Ai n’est vide, l’intersection des parties Ai deux à deux est vide, et l’union des parties Ai est égale à E.
Ainsi, tout élément x de E appartient à une partie Ai et une seule ; un classement des éléments de E en résulte.
Une véritable partie A de E et sa partie complémentaire Ā forment une partition particulière de E.
Produit cartésien d’un
nombre fini d’ensembles
y Le produit des deux ensembles X
et Y est l’ensemble des couples ordonnés (x, y), où x ∈ X et y ∈ Y. Par exemple, si X = Y = R (ensemble des nombres réels), le produit X × Y, noté ici R 2, est l’ensemble des couples de réels. Si X = R et Y = R sont représentés graphiquement par les points de deux axes sécants, R2 est représenté par les points du plan.
y De façon plus générale, le produit des ensembles X1, X2, ..., Xn est l’ensemble des n-uplets (x1, x2, ..., xn), où x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn ; on note X1 × X2 × ... × Xn ; si X1 = X2 = ... = Xn, on note ou Xn. On définit ainsi R3
et Rn, n ∈ N.
Cardinal d’un ensemble
Si cet ensemble est fini, c’est le nombre d’éléments de cet ensemble.
Dans la classe des ensembles infinis, on définit une relation d’équivalence : deux ensembles ont même puissance
s’ils sont en correspondance biunivoque. Le cardinal d’un ensemble A est alors la classe d’équivalence à laquelle il appartient.
Fonction caractéristique
d’un ensemble
C’est la fonction qui prend la valeur 1
sur cet ensemble et 0 ailleurs. De façon précise, A étant une partie de E, la fonction caractéristique fA de A (relativement à E) est la fonction définie sur E et qui vaut 1 sur A et 0 sur ∁EA. On a fA + fĀ = 1 ; de plus fA ∩ B = fA . fB, car fA ∩ B(x) = 1 (x ∈ A et
x ∈ B) [fA(x) = 1 et fB(x) = 1].
Il en résulte que
L’étude d’ensembles munis d’une ou plusieurs opérations conduit à définir des structures.
downloadModeText.vue.download 566 sur 591
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 7
3979
Un grand nom dans la
théorie des ensembles
Ernst Zermelo, mathématicien allemand (Berlin 1871 - Fribourg 1953). Il fut le disciple de Georg Cantor (1845-1918), dont il publia l’oeuvre en 1932. Son nom est lié à l’« axiome du choix » qu’il explicita en 1904. Cet axiome postule que, dans tout sous-ensemble d’un ensemble donné, on peut fixer un élément distingué. Zermelo l’utilisa en 1904 et en 1908 pour démontrer que tout ensemble peut être bien ordonné. Un bon ordre est un ordre total tel que tout sous-ensemble admette un
premier élément.
Déjà admis implicitement par Cantor, l’axiome de Zermelo fut l’objet de nombreuses polémiques. Attaqué par Henri Poincaré (1854-1912), refusé par Emile Borel (1871-1956), Henri Lebesgue (1875-1941), Nikolaï Nikolaïevitch Louzine (1883-1950), il fut accepté par David Hilbert (1862-1943), Jacques Hadamard (1865-1963), Wacław Sierpiński (1882-1969). En 1908, Zermelo tenta la première axiomati-sation de la théorie des ensembles.
J. I.
E. S.
F Anneau / Application / Axiomatique (mé-
thode) / C / Combinatoire (analyse) / Continu (puissance du) / Espace / Fonction / Groupe / Logique / N / Opération / Probabilités / Q / R / Structure / Topologie / Treillis / Vectoriel (espace) / Z.
P. Dubreil, Algèbre (Gauthier-Villars, 1955 ; 3e éd., 1963). / G. Choquet, Algèbre des ensembles. Algèbre (C. D. U., 1956). / L. Chambadal et J. L. Ovaert, Cours de mathématiques, t. I : Notions fondamentales d’algèbre et d’analyse (Gauthier-Villars, 1966). / M. Barbut, Ma-thématiques des sciences humaines, t. I : Combinatoire et algèbre (P. U. F., 1967). / A. Bouvier, la Théorie des ensembles P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1969 ; 3e éd., 1972). / N. Bourbaki, Théorie des ensembles (Hermann, 1971).
Ensor (James)
Peintre et graveur belge (Ostende
1860 - id. 1949).
Maître de l’expressionnisme* fan-
tastique et l’un des fondateurs du groupe des Vingt, il a fait dans sa ville natale l’ensemble de sa longue carrière. D’abord incomprise, reconnue de façon éclatante à partir de 1920, son oeuvre, dont le meilleur se situe de 1883 à 1900, précède celles de ses frères spirituels Van Gogh, Munch, Gauguin, Redon, car elle atteint déjà toute son originalité dans les Masques scandalisés (1883, musées royaux des Beaux-Arts, Bruxelles).
Chez lui, la volonté d’expression, constante de l’art flamand depuis Brue-gel, s’allie à la fantaisie, le positivisme à l’irréalisme, l’humour noir à l’humour rose. L’invention colorée, la fraî-
cheur, le scintillement qui caractérisent sa grande époque sont un masque de plus jeté sur les créatures inquiétantes qui peuplent son oeuvre.
Ensor est le fils d’un Anglais et d’une flamande dont la mère tenait une boutique de souvenirs à Ostende, masques et coquillages ; ce bric-à-brac poétique nourrira l’imagination du peintre et reviendra comme un leitmotiv à travers son oeuvre. Élève de 1877 à 1880 à l’Académie de Bruxelles, Ensor est encouragé à ses débuts par Félicien Rops (1833-1898), car ses dons sont évidents (Femme au nez retroussé, 1879, musée royal des Beaux-Arts, Anvers). Sa
première manière, réaliste et sombre, joint une technique impressionniste au goût du clair-obscur. Dans des accords de roux, de brun et de bleu, il évoque l’atmosphère des appartements fin de siècle et les névroses mises à la mode par J.-K. Huysmans et Dostoïevski : la Musique russe (1881, Bruxelles), la Femme en détresse (1882, musée
national d’Art moderne, Paris). Il peint aussi des natures mortes aux harmonies sourdes grassement étalées : le Chou (1880, Bruxelles). En 1882, la Man-geuse d’huîtres (Anvers) dénote une évolution vers des valeurs plus claires.