L’unité d’intensité lumineuse intervient dans le domaine particulier des unités photométriques.
Les unités de certaines grandeurs (angle plan, angle solide) sont indépendantes des unités de base. On convient de ne pas les faire intervenir dans les équations de dimensions. Les grandeurs correspondantes sont dites « sans dimension ».
Dans certaines lois de la physique apparaissent des coefficients qui dé-
pendent des unités. Ainsi, la constante de la loi d’attraction universelle, G, dé-
finie par la relation a pour
dimensions L3M–1T– 2. Elle serait sans dimensions dans un système d’unités construit en partant d’une formule relative aux phénomènes de gravitation.
Homogénéité des
formules
Une formule est l’expression d’une relation numérique entre des nombres qui mesurent diverses grandeurs.
Cette relation doit être conservée si on change d’unités de base en conservant les relations de définition des unités dérivées. Cela exige que les termes qui figurent dans les deux membres soient multipliés par le même rapport, donc qu’ils aient mêmes dimensions. On dispose ainsi d’un procédé de contrôle du résultat d’un problème de physique ; toutefois, ce procédé ne permet de dé-
montrer que l’inexactitude.
Soit ainsi la formule donnant la pé-
riode du pendule simple :
Le facteur 2π n’intervenant pas, on vé-
rifie immédiatement que la dimension
des deux membres est T.
Analyse dimensionnelle
Cette méthode peut être appliquée avec profit pour déterminer la forme de la solution d’un problème ou même cette solution elle-même, à un coefficient constant près, dans les cas les plus simples.
Comme exemple, cherchons la pé-
riode t d’oscillation d’une goutte sphé-
rique de liquide sous l’influence de sa tension superficielle σ et admettons que t ne dépende que du diamètre d, de la masse volumique ρ et de σ selon la formule t = kdxρyσz. Les dimensions de ces trois grandeurs étant L, ML– 3 et MT– 2, la nécessité d’avoir une formule homogène conduit à écrire
T = Lx . (ML–3)y . (MT–2)z.
En égalant les puissances de T, de M et de L, on trouve
La valeur de k dépend du mode particulier d’oscillations considéré.
P. C.
P. W. Bridgman, Dimensional Analysis (Yale, 1937). / E. Bauer, la Mesure des grandeurs, dimensions et unités (Hermann, 1939).
/ R. Esnault-Pelterie, Analyse dimensionnelle et métrologie (F. Rougé, Lausanne et Gauthier-Villars, 1949).
équation d’état
Relation entre des grandeurs qui définissent l’état d’une masse donnée d’un corps pur.
Généralités
Si l’on fait abstraction de la réalité moléculaire et que l’on ne considère, pour un échantillon de substance dont les dimensions sont accessibles à nos sens, que l’aspect macroscopique, l’expérience montre qu’un état d’équilibre peut être entièrement précisé par la connaissance des valeurs que prennent, pour cet état de l’échantillon, un nombre de grandeurs habituellement petit. En particulier, pour une masse donnée d’un corps pur à l’état de fluide homogène, il est suffisant, pour
caractériser chaque état d’équilibre, de préciser volume, pression et température. Et encore ces trois grandeurs, qui varient d’un état à un autre, ne sont-elles pas indépendantes : le volume est déterminé si on se donne pression et température ; c’est dire qu’il existe, pour cette masse de ce fluide, une relation f (p, v, T) = 0, qu’on appelle son équation d’état, celle-ci étant, dans sa forme, caractéristique du fluide considéré.
La connaissance de l’équation d’état pour un fluide est importante. Elle permet le calcul a priori, sans qu’il soit nécessaire de recourir à l’expérience, de l’une des trois grandeurs p, v, T
quand on se donne les deux autres ; mais aussi elle apporte une aide pré-
cieuse au calcul de nombreuses grandeurs caractéristiques du fluide ainsi que de leurs variations (v. coefficients thermodynamiques).
Recherche de l’équation
d’état d’un gaz
C’est une constatation déjà ancienne que celle de l’unité de comportement des différents gaz : l’étude de la compressibilité, faite par Boyle* et par Mariotte, celle de la dilatation, faite par Gay-Lussac*, ont conduit à l’idée d’une même équation d’état pour tous les gaz. Si les propriétés traduites par les lois de Mariotte et de Gay-Lussac étaient exactement satisfaites, l’équation d’état d’un gaz serait de la forme pv = p0v0 (1 + αt), ou, en introduisant la température absolue
pv = p0v0αT, où α est le coefficient de dilatation du gaz, p0 et v0 sa pression et son volume à 0 °C. Il n’existe pas de gaz réel qui obéisse exactement à ces lois simples ; il est cependant commode de conserver l’équation précé-
dente comme première approximation.
C’est une des raisons pour lesquelles on a créé ce modèle, qu’on appelle le gaz* parfait, associé au gaz réel ; sa définition est telle que son équation d’état est, pour n moles : pv = nRT ; R
est une constante universelle, de valeur 8,314 J/K/mole. Cette équation d’état cesse d’être applicable au gaz réel, même comme grossière approximation, quand on s’approche des condi-
tions de la liquéfaction ; il a donc été nécessaire de rechercher une équation d’état mieux adaptée au gaz réel.
On remarque d’abord que le volume d’un gaz réel ne peut tendre vers zéro quand la pression augmente, cela à cause du volume propre des molé-
cules ; l’équation d’état du gaz parfait doit donc être modifiée en y rempla-
çant v par v – b ; b est dit « covolume ».
On remarque ensuite que, contrairement aux molécules du gaz parfait, qui n’ont entre elles aucune action en dehors des chocs, celles du gaz réel s’attirent mutuellement ; la pression p observée est donc inférieure à celle p′ qu’exercerait le gaz si ces actions intermoléculaires n’existaient pas, downloadModeText.vue.download 13 sur 567
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 8
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ce qu’on écrit : p = p′ – π ; π est dit
« pression interne ». L’équation d’état du gaz parfait doit donc être modifiée en y remplaçant la pression par p + π. Cela donne, pour la mole du gaz (p + π) (v – b) = RT. Des considérations d’ordre théorique ont conduit J. D. Van der Waals (1837-1923) à admettre pour la pression interne une expression de la forme : π = a/v 2, a étant une constante pour la mole d’un gaz donné ; l’équation (p + a/v 2) (v – b) = RT, dite « de Van der Waals » (1873), où a, b, R sont des constantes relatives à la mole, est remarquable, eu égard à sa simplicité, en ce qu’elle permet de prévoir certaines propriétés du gaz ; parmi celles-ci, l’existence d’une isotherme critique et d’un point critique dont les coordonnées sont calculables en fonction de a, b, R ; un minimum du produit pv à température constante, dans un domaine de températures limitées supérieurement par la température dite « de Mariotte », calculable elle aussi en fonction de a, b, R.
L’expérience contredit cependant
certaines conséquences de l’équation de Van der Waals : ainsi, cette équation prévoit que, si on laisse constant le volume, la pression est fonction linéaire de la température ; autrement dit, les isochores du gaz sont des droites, ce
que contredit l’expérience (le thermomètre à gaz à volume constant ne définit pas, quels que soient le volume et le gaz, l’échelle légale de températures).
Pour améliorer l’accord avec l’expé-
rience, de nombreuses autres équations d’état ont été proposées. Certaines ne diffèrent de l’équation de Van der Waals que par l’expression, plus compliquée, de la pression interne : celle de Clausius, qui pose celle