где Р(Аi I B) — это апостериорная вероятность (то есть вероятность причины известного события), Р(В I Аi) — вероятность события, причину которого предполагают, и Р(Аi) — априорная вероятность (она предшествует любой информации о событии). Благодаря формуле Байеса априорные вероятности могут быть вычислены апостериори; иначе говоря, мы можем принимать решения, основываясь на опыте.
Если предположить, что Солнце встает каждое утро в течение 5 тысяч лет, то есть 1826213 дней (Лаплас именно таким полагал возраст Земли), то вероятность того, что оно встанет на следующий день, равна 1826214/1826215 (*99,9999%). Однако — на основании этого правила — чем дольше живет человек, тем больше вероятность того, что он продолжит жить. В 80 лет он будет иметь больше шансов прожить следующий день, чем в 20, а это абсурд. Байес, Лаплас и другие сторонники байесовской теории столкнулись со сложностью определения априорных вероятностей. В приведенном выше примере кажется справедливым предположить, что содержимое двух урн, в принципе, равновероятно, то есть составляет 50%. Но в некоторых ситуациях не всегда можно присвоить событиям одинаковую вероятность или рассчитать ее, исходя из имеющейся информации о каждом событии (субъективная вероятность). Можно ли определить вероятность объективно, например благодаря индукции определить ее как приблизительное значение частоты, опираясь на теорию Бернулли? Этот горячий научный спор, который вдохновил Лапласа, не завершен до сих пор: математики и философы и сегодня спорят о правильности различных подходов.
В 1780 году Лаплас представил «Мемуар о вероятностях», в котором усовершенствовал свой анализ этого вопроса. Ученый начал с того, что подчеркнул возможность определения вероятности тремя различными способами: априори, то есть посредством логических заключений; апостериори, то есть исходя из опыта; и третьим способом, очень близким к первому, который посредством умозаключений позволяет нам судить о степени вероятности будущего события. Первым способом мы можем установить равную вероятность при соперничестве между двумя игроками (каждый имеет 50 % шансов на победу). Благодаря второму способу мы можем определить вероятность выигрыша для каждого игрока исходя из результата предыдущих партий (если первый игрок выиграл семь партий из десяти, вероятность его выигрыша равна 70%). Наконец, при помощи третьего способа, если мы знаем, что первый игрок играет лучше второго, то можем предположить, что у него 80 % шансов на победу. В первом случае, говоря словами Лапласа, мы определили «абсолютную» вероятность (сегодня мы говорим «логическую вероятность»); во втором — «приблизительную» вероятность (объективную), а в третьем — «относительную» вероятность наших знаний и надежды. Также Лаплас определил различие между шансом и вероятностью. В его детерминистской философской концепции шанс по своей природе не имеет отношений к реальности. Учитывая, что все события имеют свои причины, шанс — это лишь выражение нашего незнания о причинах события. Вероятность — более подходящий способ описания нашего незнания причин, определяющих события.
В основе теории вероятностей — только здравый смысл, сведенный до исчисления; эта теория позволяет нам оценить с точностью то, что острые умы чувствуют своим инстинктом, находящимся вне времени и неспособным считать.
Пьер-Симон де Лаплас
Лаплас не ограничился анализом вероятностей, а также взял на себя труд доказать их пользу для статистики и демографии. В своей работе он анализировал вероятности того, какого пола родится ребенок. Лаплас опирался на данные приходских книг для определения априорных вероятностей, необходимых, чтобы применить теорему Байеса. Ученый сделал вывод, что вероятность рождения мальчика немного выше вероятности рождения девочки. По его мнению, можно предугадать, что рождаемость мальчиков в Париже немного превзойдет рождаемость девочек в течение следующих 179 лет. И все это благодаря статистике!
Несмотря на поддержку Кондорсе, применение теории вероятностей в других областях встречало сопротивление: так, сам наставник Лапласа, д’Аламбер, неоднократно выражал сомнения относительно пользы расчета вероятностей. Однако несмотря ни на что Лаплас пошел дальше своих предшественников и не прекратил настаивать на необходимости такого типа выводов для наблюдений и экспериментальных наук, которые идут от следствий к причинам. В этих науках часто известны результаты, а не причины. Байесовское приближение, применяемое к статистическому выводу, стало на рубеже XIX и XX веков одним из инструментов, представленных статистиками Карлом Пирсом (1857-1936), Рональдом Эйльмером Фишером (1890-1962), Эгоном Пирсом (1895-1980, сын Карла) и Ежи Нейманом (1894-1981). Эти четверо математиков, увлеченные генетикой, евгеникой и биологией, критиковали Байеса и разработали современные статистические методы. И все же именно благодаря Лапласу статистика перестала быть описательной наукой и превратилась в дисциплину индуктивную и моделирующую будущее. Так в ряду математических дисциплин зажглась новая звезда.