Д’Аламбер написал для Энциклопедии статью о вероятностях, хотя, в отличие от Кондорсе и Лапласа, он был критически настроен к этому понятию. В статье д’Аламбер допустил ошибку, рассчитав вероятность выпадения орла и решки путем подбрасывания двух монет. Он утверждал, что вероятность равна 1/3, то есть существует только один благоприятный результат (одна монетка ложится орлом, а вторая — решкой) из трех возможных (два орла, две решки, орел и решка). Он не учитывал возможность получения орла и решки двумя разными способами: орел и решка и решка и орел. Таким образом, реальная вероятность — 2/4, или два благоприятных исхода из четырех возможных. Лаплас не упустил возможности указать своему наставнику на ошибку!
Теория вероятностей, предложенная Лапласом, опирается на знаменитое правило Лапласа, определяющее вероятность какого-либо события. Оно сформулировано в научном исследовании, датируемом 1774 годом. Бернулли и Муавр в своих работах ранее предложили более или менее похожие определения.
Вероятность (какого-либо события) — это количество благоприятных исходов, разделенное на количество возможных исходов.
Правило Лапласа
Так, вероятность события выражается цифрой от 0 до 1.
Когда вероятность равна 1, это означает, что событие произойдет обязательно. Когда вероятность равна 0, мы говорим о невозможном событии. Приведем пример: если одна урна содержит 7 шаров, из которых 5 белых и 2 черных, вероятность вытащить черный шар, по знаменитому правилу, равна 2/7 (~ 29%); у нас есть 2 черных шара (2 благоприятных исхода) на 7 шаров, лежащих в урне.
Правило Лапласа предполагает, что все исходы, благоприятные или возможные, имеют одинаковую вероятность.
В ситуациях, когда один исход имеет большую или меньшую вероятность, чем другие, возможно определить вероятность события, применяя правило сумм, также сформулированное Лапласом: если событие может произойти двумя различными способами (или больше, чем двумя), несовместимыми один с другим, то вероятность — это сумма вероятностей всех благоприятных исходов. Например, вероятность вытащить туз или короля в колоде из 32 карт — это сумма вероятности вытащить туз (которая равна 4/32, так как в колоде 4 туза) и вероятности вытащить короля (также 4/32): 4/32 + 4/32 = 8/32 (=25 %).
Однако событие, вероятность которого мы хотим рассчитать, иногда может быть составным. В этом случае необходимо применить не правило Лапласа, а правило произведения, которое мы также находим у Лапласа: если для появления события А нужно, чтобы в одно и то же время произошли два других события, В и С, то вероятность события А равна произведению вероятности события В, умноженной на вероятность события С, при условии, что событие В уже произошло. Это формулу мы знаем сегодня как формулу условных вероятностей. Например, вероятность, что выпадет 6, если мы бросаем одну кость, равна 1 /6. Какова вероятность получить сразу две 6? На основании правила умножения необходимо умножить вероятность выпадения первой 6(1 /6) на вероятность выпадения второй 6 (также 1/6, поскольку эти два события не зависят друг от друга): 1/6 х 1/6 = (1/6)² = 1/36 (-2,8%).
Шевалье де Мере описывает следующую ситуацию: игроки А и В играют друг против друга, и каждый ставит 32 золотые монеты, то есть всего 64 монеты, которые заберет первый игрок, выигравший три партии. Однако они вынуждены прервать игру. Как следует разделить выигрыш, если один из них победил в двух партиях, а второй — только в одной? Ошибочное решение для этой задачи нашел Лука Пачоли в XV веке. Он предложил игрокам разделить деньги исходя из количества побед: так как они сыграли три партии и игрок А выиграл две из них, а игрок В — только одну, А должен забрать 2/3 денег, а В — 1/3. Однако Кардано доказал, что это неверное решение, потому что оно не учитывает количество партий, которое каждый игрок должен был выиграть, чтобы забрать весь банк.