Понятие вероятности события, довольно ясное само по себе, в математической теории «случайных» явлений рассматривается как отношение числа шансов, благоприятствующих данному событию, к числу всех шансов.
В случае с монетой вероятность, что при бросании ее не выпадут ни «орел», ни «решка» равна нулю. Вероятность, что выпадет либо «орел», либо «решка», будет равна единице, – это будет достоверность.
В урне лежит сто шаров, из которых один черный, а остальные белые. Какова вероятность того, что, беря наудачу один шар, мы вынем именно черный? Ясно, что каждый шар имеет один шанс быть вынутым, а всего шансов в нашем примере – сто. Вероятность вынуть черный шар равна одной сотой, а вероятность вынуть белый шар равна девяносто девяти сотым, т. е. очень близка к единице, к достоверности. Может, конечно, случиться, что первый же вынутый шар будет черным, но наш математический расчет позволяет утверждать, что если подобный опыт будет продолжаться много сот раз, то на каждые сто опытов черный шар будет вынут лишь один раз. Подобных примеров, обычно более сложных, где дело основано на так называемых «случайных явлениях» в человеческой практике, очень много. Пока не были изучены их об'ективные законы, разные шарлатаны могли широко использовать «случай», создавая условия, на которых вовлекали в свое предприятие простодушных.
Астроном Галлей впервые составил таблицу смертности и этим положил начало статистике. Сочетание статистического материала и элементов теории вероятностей придало им характер подлинной математической науки, могущей иметь громадное практическое значение в самых разнообразных областях жизни.
Основные положения математической теории вероятностей, после ее пионеров – Паскаля и Ферма, были созданы Яковом Бернулли в самом начале XVIII века. Байес и Моавр несколько развили вопросы, рассмотренные Бернулли.
Когда Лаплас приступил к усовершенствованию теории вероятностей (первые попытки он делал еще двадцатилетним юношей), она находилась еще в довольно хаотическом состоянии, и методы, которыми она пользовалась, были элементарны; доказательства теорем получались недостаточно ясными и очень громоздкими.
Лаплас прежде всего пересмотрел эти методы и вместо них дал новые математические методы, внеся в них достижения современного ему анализа, в частности, используя разработанную им самим теорию особых «образующих» функций.
Этим Лаплас сделал свое изложение теории вероятностей простым, ясным и изящным.
Не ограничившись переработкой теории, Лаплас внес в нее много нового. Теорема, носящая его имя, точнее и шире теоремы Бернулли.
Лаплас развил ту отрасль теории вероятностей, которая носит название «Теория ошибок и способ наименьших квадратов» и без которой не может теперь обойтись ни один естествоиспытатель.
Не говоря уже о физико-математических науках, даже биология и физиология постоянно прибегают к содействию этой теории. Эмпирически построенная Лежандром и в особенности Гауссом, эта теория, обоснованная Лапласом, позволяет, например, вычислить точность результата тех или иных подсчетов и наблюдений, позволяет судить о степени достоверности каких-либо численных выводов. Лаплас и Гаусс впервые широко пользовались способом «наименьших квадратов» в вопросах небесной механики и в других.
В «Опыте философии теории вероятностей» Лаплас дает не только блестящее популярное изложение самой теории, но и крупную попытку философского обоснования ее положений и выводов. Тут же Лаплас излагает свои обширные соображения о применении теории вероятностей к явлениям социального характера, но мы их рассмотрим дальше, в связи с общей характеристикой мировоззрения ученого.
В предисловии к русскому переводу «Опыта философии теории вероятностей», изданному столетием позднее, профессор А. К. Власов говорит: «Никому теория вероятностей не обязана столько, сколько Лапласу. Его „Аналитическая теория вероятностей“ составляет своего рода „principia“ по этому предмету. Столетний возраст этого классического сочинения не умалил его значения».
Все физико-математические науки, статистика, биометрия, страхование жизни, страхование от пожаров, страхование грузов, экономика, транспорт, коммунальное хозяйство, словом, почти все отрасли науки, техники и широкой практики пользуются плодами трудов Лапласа в области теории вероятностей и математической статистики.
Теория капиллярности
В этот же период Лаплас уделял много времени вопросам теоретической физики, в частности, теории капиллярности или волосности.
Поднятие жидкости на большую высоту в капиллярных (волосных) трубках, играющее большую роль в физике и обусловливающее питание растений соками земли (посредством капилляров, заключенных между волокнами древесины), казалось довольно загадочным. В течение полутора столетий ученые тщетно пытались создать физическую теорию явления капиллярности, облеченную в математическую форму и согласную с данными наблюдений. Первую попытку создания аналитической теории сделал Клеро в 1743 году, но только Лапласу удалось достигнуть в этой теории известной законченности, сообщить ей истинно научную основу.
Лаплас опубликовал свои первые работы в этой области в двух небольших сочинениях (1806–1807), за которыми последовал ряд более подробных статей в периодических изданиях. Эта теория в своей окончательной форме появилась в четвертом томе «Небесной механики», и не случайно она находится там, поскольку Лаплас рассматривал капиллярность как частный случай всемирного тяготения. Лаплас видит в капиллярности явление взаимного сцепления частиц жидкости и их прилипания к частицам твердых стенок трубки, причем эти силы проявляются лишь при неизмеримо малых расстояниях между частицами. Чем больше сила прилипания, по сравнению с силой сцепления, тем выше поднимается жидкость по трубке и тем более вогнутой оказывается форма мениска (поверхности жидкости в капилляре). Отношение этих сил Лаплас численно определяет по «краевому углу», т. е. углу, образованному между поверхностью жидкости и стенкой трубки. Пожалуй, это была первая правильная мысль о так называемых молекулярных силах, получившая впоследствии в физике широчайшее развитие и практическое применение. Формулы, выведенные Лапласом, дали простой закон, подтверждающийся на практике: высоты поднятия одной и той же жидкости в разных трубках обратно пропорциональны их диаметру.
Наблюдения, которые требовалось произвести для проверки, с большой точностью выполнил Гей-Люссак в доме Бертолле. В связи с этой работой Гей-Люссак изобрел хорошо известный каждому физику катетометр – прибор для измерения малых линейных длин на расстоянии.
Формулами теории Лапласа широко пользуются в технике, исследуя свойства жидкостей, применяемых в машинах.
В 1801 году Лаплас и Бертолле от имени Наполеона пригласили Вольта в Париж. Они приняли участие в комиссии, делавшей перед Первым консулом отчет о действии электрического Вольтова столба, вызывавшего живейший интерес в самых широких кругах.
В этом же году Париж посетил приехавший из Англии Гершель. Он познакомился с Лапласом, который представил его Наполеону. Кстати сказать, Гершель нашел, что астрономические познания Наполеона ниже, чем у английского короля Георга III, хотя Наполеон «делал вид, что знает больше, чем оказывалось на самом деле». Возможно, впрочем, что в этой оценке сказалась ненависть английской буржуазии и английского двора к Наполеону и большее знакомство Бонапарта с математической астрономией Лапласа, чем с наблюдениями великого астронома.
ПОСЛЕДНЕЕ ДЕСЯТИЛЕТИЕ
В эпоху реакции
Последнее десятилетие жизни Лапласа протекало в эпоху реставрации Бурбонов.
В 1814 году Наполеон, проигравший русскую кампанию, побежденный в так называемой войне «за освобождение Европы», брошенный своими подневольными союзниками, с непрерывными боями отступил во Францию. Войска коалиции, обогнав его на три перехода, подошли к Парижу. Франция не была в силах продолжать сопротивление. Двадцатидвухлетние почти непрерывные войны, сперва революционные, потом (со времен Директории) захватнические, вконец истощили страну. На полях сражений погиб цвет французской молодежи, так что в последние годы империи военные контингенты приходилось набирать из мало пригодных, физически недоразвитых подростков. Страдавшее больше всех от рекрутских наборов, изнемогавшее под тяжестью непомерных налогов, крестьянство жаждало мира во что бы то ни стало.