Винт Архимеда. Хотя обычно данное изобретение приписывают древнегреческому ученому, есть мнение, что его применяли уже в Древнем Египте.
Работы Архимеда были очень короткими, и в них очень строго доказывались и решались задачи. В названиях автор прямо указывал тематику: "О квадратуре параболы", "О шаре и цилиндре", "О спиралях", "Об измерении круга", "О плавающих телах", "О равновесии плоских фигур" и так далее. Некоторые его сочинения были потеряны, например его работы о тяготении, рычагах и оптике.
Но именно талант изобретателя сделал Архимеда известным среди его современников. В молодости он сделал устройство, которое с помощью гидравлического механизма воссоздавало движение планет. Также Архимед разработал блочный механизм, позволивший ему спустить на воду огромный корабль царя Гиерона. Кроме того, он создал большое количество разнообразных военных машин, с помощью которых жители Сиракуз два года отражали атаки осаждавших их римлян. Согласно легенде ученый использовал большие зеркала, чтобы сжигать вражеские корабли. И, само собой, он был создателем винта Архимеда (см. рисунок), механического приспособления для поднятия воды из колодцев и цистерн, состоящего из металлической полосы, идущей спирально вокруг центрального стержня и спрятанной внутри цилиндра.
Однако все эти изобретения были, как пишет Плутарх в жизнеописании Марцелла, римского военачальника, завоевавшего Сиракузы, просто "развлечением для геометра". Плутарх объясняет нам, каковы были интересы гения:
"Хотя открытия обеспечили ему имя и славу, не человеческую, а божественную, он не захотел оставить ни одного трактата о них, а считал инженерное дело и любое утилитарное ремесло неблагородным и грубым и претендовал только на области, красота и утонченность которых не связаны с потребностями и не могут сравниться с другими областями; он открыл диспут о материи и доказательстве, где первое предоставляет силу и красоту, а второе — точность и высочайшую силу, потому что невозможно найти в геометрии более сложные и важные пропозиции, изложенные в рамках более чистых и четких понятий".
Архимед пользовался методом исчерпывания для строгого доказательства своих результатов. В работе "О шаре и цилиндре" первая аксиома, которую он выдвигает, заключается в том, что из всех линий, имеющих одни и те же концы, самая короткая — прямая. В нее включены другие аксиомы, связанные с длинами кривых и площадей поверхностей.
В области геометрии у древнегреческих ученых было правило — рассматривать только те фигуры, которые можно построить с помощью линейки и циркуля. Поэтому они были ограничены знаменитыми задачами на построение: удвоение куба, квадратура круга и трисекция угла.
В греческой математике не было создано общих методов для решения различных задач. Кроме того, после подчинения геометрии математической строгости доказательства стали каждый раз все более сложными. Это мешало двигаться дальше в развитии вычислений.
Этот метод обязан своим существованием греческому математику Евдоксу Книдскому (ок. 390-337 до н.э.). Он состоит в приближении неизвестной площади, которую нужно вычислить, к большей или меньшей площади. Метод основывается на принципе, который упоминается в "Началах" Евклида:
"Если при данных двух неравных величинах из наибольшей величины вычесть величину, большую ее половины, а из остатка — другую величину, большую ее половины, и последовательно повторять процесс, в итоге останется величина, меньшая наименьшей из заданных величин".
Попробуем найти площадь круга (рисунок 1). Для этого впишем в него квадрат (площадью, большей половины круга) и вычтем его площадь из круга. На сторонах квадрата построим равнобедренные треугольники, вписанные в сегменты круга, а затем вычтем площадь данных треугольников. Повторяя последнюю операцию нужное количество раз, мы последовательно подходим к площади круга сколь угодно близко.