Четвертой группой задач были измерения, предполагавшие спрямление кривых, то есть трансформацию фрагмента кривой в отрезок той же длины, в связи с чем можно было узнать размер этого фрагмента кривой: нахождение квадратуры кривой, то есть площади, ограниченной этой кривой, и нахождение кубатуры тела, то есть его объема. В данную группу задач входило также вычисление центров тяжести тел и гравитационного притяжения между ними.
Практически все великие математики XVII века внесли что- нибудь в развитие анализа. Ферма, например, использовал тот же самый метод построения касательных и нахождения экстремальных значений, максимумов и минимумов. Грегори и Барроу выяснили, что вычисление квадратуры и нахождение касательной были взаимосвязаны.
Нужно было, чтобы пришел кто-то с еще лучшим зрением, чтобы увидеть связи между этими проблемами. Как Ньютон, так и Лейбниц сделали качественный скачок в создании анализа посредством двух фундаментальных аспектов. Во-первых, они нашли общий метод, который можно было применить к любому типу задач. Во-вторых, они доказали, что раз задачи по дифференцированию и нахождению квадратур взаимно обратны, то, чтобы решить одну из них, достаточно инвертировать метод и найти решение другой. Этот результат известен как основная теорема анализа. Таким образом после Лейбница и Ньютона четыре проблемы анализа свелись только к двум проблемам дифференцирования и интегрирования.
Исаак Ньютон (1642-1727) был математиком, физиком, алхимиком, теологом и изобретателем. Он учился в Кембриджском университете, где посещал лекции Барроу, которого он затем заменил на должности преподавателя. В 1665 году Ньютон вернулся в свою родную деревню, когда университет закрылся из-за чумы, в то время опустошавшей Англию. Два года вынужденных каникул ученый занимался исследованиями в трех больших областях: оптика, тяготение и движение тел и, наконец, анализ бесконечно малых.
Ньютон всегда сопротивлялся публикации своих результатов, потому что не хотел вступать в полемику, и предпочитал посылать свои открытия в виде писем другим ученым. Из-за этого его исследования публиковались через много лет после того, как они были сделаны, что вызывало споры об авторстве.
В 1686 году появился первый из трех томов работы Ньютона "Математические начала натуральной философии", более известной как "Начала". В нем был изложен знаменитый закон всемирного тяготения.
В 1696 году Ньютон оставил преподавание и стал сначала смотрителем, а затем управляющим Лондонского монетного двора. Занимая эту должность, он активно содействовал проходившей в Англии денежной реформе. В 1703 году Ньютон был избран председателем Королевского общества и оставался им до самой смерти. Он также недолго входил в состав парламента, а в 1705 году королевой Анной был возведен в рыцари.
Кроме того, эти ученые предложили вычисление, абсолютно не связанное с геометрией, после чего математический анализ стал отдельной дисциплиной. Она пользовалась алгебраическими понятиями, что позволяло разработать метод, который был бы применим для любого вида функции или задачи.
Несмотря на тяжкую полемику о том, кто раньше изобрел анализ бесконечно малых, подходы Лейбница и Ньютона отличались. Ньютон вычислял производную и первообразную с помощью бесконечно малых приращений, а Лейбниц имел дело напрямую с дифференциалами. С другой стороны, Ньютон всегда работал с производными и интегралами с точки зрения относительного изменения переменных, в то время как Лейбниц использовал в своей работе суммирование членов рядов для нахождения площадей или объемов. Кроме того, Ньютон широко применял ряды для представления функций, а Лейбниц напрямую работал с общим уравнением функции. Кроме того, немецкий ученый занимался формулированием правил анализа, что не интересовало его коллегу из Англии. Если Лейбниц искал подходящие и легко используемые символы записи, то Ньютон не задавался этим вопросом. Сегодня мы применяем форму записи, созданную Лейбницем, несмотря на то что концепция анализа Ньютона более близка современной.