Ньютон изложил свой анализ в нескольких работах. Первая из них — "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов", написанная в 1669 году, но опубликованная в 1711-м; вторая — "Метод флюксий и бесконечные ряды", законченная в 1671 году, но опубликованная только в 1736-м. В этой работе Ньютон определил свои основные элементы, флюэнты и флюксию. Первые он охарактеризовал как переменные величины, так как рассматривал прямые, плоскости и объемы как непрерывное движение точек, прямых и поверхностей. Относительное изменение этих флюэнт он назвал флюксией. Эти понятия приблизительно соответствуют нашим переменным, функциям и их производным. Если х и у — флюэнты, то их флюксии ученый обозначил как х' и у'. Флюксия флюксии, то есть вторая производная, обозначена x" и y" и так далее. Ньютон также определил момент флюэнты, который обозначил о, как очень маленькое изменение переменной, бесконечно малый интервал изменений.
В третьей работе, "О квадратуре кривых", написанной в 1676 году и опубликованной в 1704-м в качестве приложения к своему труду по оптике, Ньютон частично изменил подход к бесконечно малым, больше приблизившись к интуитивной идее предела.
Посмотрим, как ученый использовал эти элементы для нахождения производной. Возьмем функции у = xn. Ньютон говорит, что если переменная х флюирует, то есть бесконечно мало изменяется до х + o, то функция превращается в (х + o)n. Далее из этого двучлена он получает ряд:
(x+o)n = xn + n · xn-1 · o + n(n-1)/2 · xn-2 · o2 + ...
Если вычесть из данного выражения значение у = хn получится, что приращение к переменной х, то есть о, равносильно приращению к переменной y, то есть:
n · xn-1 · o + n(n-1)/2 · xn-2 · o2 + ...
Если мы проведем преобразование, то получим выражение:
n · xn-1 + n(n-1)/2 · xn-2 · o + ...
Теперь, как говорил сам Ньютон, "пусть эти приращения испарятся": все члены с приращением исчезают, если это значение стремится к нулю. Таким образом, найденная производная равная n · хn-1.
После 1675 года в заметках Лейбница уже появляются идеи, которые привели его, по ходу дела серьезно меняясь, к собственному пониманию анализа. Однако похоже, что идеи, которые направили ученого по этому пути, зародились еще раньше. В своем труде "Об искусстве комбинаторики" Лейбниц работал с последовательностями и разностями между их членами. Он исходил, например, из последовательности квадратов 0, 1, 4,9,16, 25,...
Первые разности были 1, 3, 5, 7, 9, ... вторые — 2, 2, 2, 2, 2, ... а третьи все были нулевые. Если взять третью степень, то все четвертые разности были нулевыми, и так далее.
Он убедился, что при сложении первых членов последовательности первых разностей получается следующий член исходной последовательности, то есть при сложении двух первых членов (1 +3 = 4) получается третий член последовательности. Если сложить три первых члена 1 + 3 + 5 = 9, то получается четвертый член, и так далее.
Таким образом, анализ бесконечно малых Лейбница основывается на суммах и разностях членов последовательностей. Сумма дает нам интегральное исчисление, то есть площадь, ограниченную кривой, а разности — производную.
Лейбниц считал, что кривые сформированы из бесконечного числа прямолинейных бесконечно малых отрезков, которые составляют касательные к кривой. То есть для каждой точки у нас есть значение х, значение у и значение отрезка, соответствующего кривой; значит, у нас есть последовательности чисел, к которым можно применить сложение и вычитание.
В первой главе статьи об анализе, опубликованной Лейбницем в 1684 году в журнале "Акты ученых" под названием "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления", ученый представил свой метод и применил его для решения задачи, поднятой картезианцем Флоримоном де Боном: нахождения кривых с постоянной подкасательной. Рассмотрим его в современной записи.
Подкасательная — это проекция на ось X отрезка от места пересечения касательной с осью X до точки касания; на рисунке на следующей странице это отрезок АВ. Мы хотим, чтобы он был постоянным и был равен с. В этом доказательстве Лейбниц использовал то, что известно как характеристический треугольник, которым также пользовались Паскаль и Барроу, с катетами dx и dy, а в качестве гипотенузы — один из бесконечно малых отрезков, которые составляли кривую.
Отрезок BQ равен у. Поскольку треугольник ABQ подобен характеристическому треугольнику:
dy/dx = y/c,
то
dy/y = dx/c.
После интегрирования этого выражения получается