Спиновые сети представляют собой обобщение этой идеи, но сравнение производится более сложным образом. Каждому ребру спиновой сети приписывают значение спина jМожно представить себе параллельный перенос частиц вдоль каждого ребра, так что их суммарный спин соответствует j. В каждом узле вычисляется амплитуда, которой выражено различие спиновых состояний на входе и выходе. Произведение амплитуд всех узлов дает общий спин сети, зависящий от геометрии пространства, куда погружены ребра сети.
Общие значения спина на ребрах недостаточно полно описывают спиновое состояние частиц: сохраняется произвол при выборе значений m, компоненты спина вдоль оси Трудность в том, что, если задаться определенным значением этой компоненты (скажем, принять для всех ребер), то для каждого типа геометрии амплитуды будут зависеть от ориентации оси Z. Тем не менее существует простой способ превозмочь эту проблему: если просуммировать амплитуду сети значений m, где пробегает диапазон значений — j…+ на каждом ребре, получим величину, полностью независимую от выбора ориентации.
С использованием этой суммы спиновая сеть позволяет определить состояние квантовой геометрии, характеризующееся ценным свойством, а именно : амплитуда не зависит от способа измерения, но только от геометрии пространства внутри сети.
http: //gregegan.customer.netspace.net.au/SCHILD/Spin/Spin.html
построены различные состояния спиновых сетей.
Эффект параллельного переноса вектора по определенному маршруту можно представить в виде карты линий, соединяющих касательные пространства в начальной и конечной точках маршрута. Говорят, что для этого пути наблюдается , выраженная вращением Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки в точку поворачивает вектор вокруг оси на угол, равный a, причем
a = k(y0z1 — z0y1, z0x1 - x0z1, x0y1 - y0x1)
и k параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол
Θloop = 2€2k.
Эффект голономии для частицы с общим спином определяется унитарной матрицей Uj. Ее можно получить, использовав соответствующее - гомоморфизм из группы в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы.[127]
Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения в начале и конце ребра:
acdge(ms, mc) = [jmc|Uj(R)|jms]
Для любого вращения действует на дуальные векторы так, что
Uj*(R)|jm| = |jm|Uj (R)-1
Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j1,j2, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j Их можно сравнить посредством линейной карты между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:
anode(m1, m2, m3) = [j3m3|C(|j1 m1] × |j2 m2])
Карта нужна, чтобы эффекты произвольного вращения коммутировали между собой:
C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) = Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2])
При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:
anode(m1, m2, m3) = (Uj3(R)[j3m3|)C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) =
= [j3m3|Uj3-1(R)Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2]) = j3m3|C(|j1 m1 × |j2 m2])
Требуя, чтобы удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.
Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σm-edgesm = mout-edgeпостроить полную спиновую сеть.
Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.
На языке теории групп можно назвать карту двух представлений группы U — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036
Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте
127
Отметим, что многообразие, соответствующее этой группе, по классификации Бергера является риччи-плоским кэлеровым многообразием типа Калаби-Яу. Иными словами, оно представляет вакуумноΛе состояние, аналогичное решениям уравнений Эйнштейна для римановых многообразий с нулевой кривизной тензора Риччи и, следовательно, нулевой космологической константой