acdge(ms, mc) = [jmc|Uj(R)|jms]
Для любого вращения действует на дуальные векторы так, что
Uj*(R)|jm| = |jm|Uj (R)-1
Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j1,j2, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j Их можно сравнить посредством линейной карты между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:
anode(m1, m2, m3) = [j3m3|C(|j1 m1] × |j2 m2])
Карта нужна, чтобы эффекты произвольного вращения коммутировали между собой:
C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) = Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2])
При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:
anode(m1, m2, m3) = (Uj3(R)[j3m3|)C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) =
= [j3m3|Uj3-1(R)Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2]) = j3m3|C(|j1 m1 × |j2 m2])
Требуя, чтобы удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.
Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σm-edgesm = mout-edge построить полную спиновую сеть.
Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.
На языке теории групп можно назвать карту двух представлений группы U — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036
Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте
[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/
За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.