Пули попадут в каждый участок стены — редко, но в течение разумного времени. В широко известной книге Криса Андерсона «Длинный хвост» (The Long Tail) утверждается, что в современной экономике возможности для развития бизнеса находятся именно в областях, далеких от среднего. Андерсон предлагает следующую стратегию: найти достаточно широкий канал распространения, по которому можно будет выводить на рынок не небольшое количество популярных товаров, а большое количество товаров непопулярных. В отличие от распределения Гаусса возможности, существующие вдали от среднего, совсем не столь редки. На илл. 5 показаны обе кривые на одном графике, и, посмотрев на него, можно понять, откуда взялось название книги Криса Андерсона. Хвостовая часть у кривой Коши значительно длиннее, чем у кривой Гаусса. Нельзя сказать, что один «хвост» длиннее другого — они оба продолжаются до бесконечности, — но гауссова кривая быстро становится настолько тонкой, что с практической точки зрения она, можно считать, и вовсе сходит на ноль.
Когда Коши взялся за исследование математических свойств своей кривой, он решил выяснить среднее значение распределяемой величины — в нашем случае это меткие выстрелы Фиби, оставившие отметки на стене. Ответ казался вполне очевидным: поскольку Фиби с равной вероятностью может прекратить свое вращение, глядя как влево, так и вправо, эта точка должна находиться в середине стены. Действительно, кривая симметрична, но, когда Коши попытался вычислить среднее ожидаемое значение для конечного числа выстрелов — например, десяти, ста или тысячи, — он обнаружил, что с увеличением их числа возрастает и вероятность того, что при одном из них винтовка Фиби будет направлена почти параллельно стене и пуля попадет в чрезвычайно удаленную точку, причем это попадание не будет скомпенсировано другими выстрелами. Поэтому среднее по большому числу выстрелов значение не приближается к середине стены — вместо этого оно скачет по всей оси, и на него сильно влияют попадания в очень удаленные точки[25].
Илл. 5. Распределения Гаусса и Коши
(График Йожефа Бенце)
Математик сказал бы, что распределение Коши не имеет математического ожидания. Среднее значение по большому числу выстрелов может соответствовать любой точке стены. Именно этого не происходит в распределении Гаусса. Чем больше производится выстрелов, тем ближе среднее значение распределения Гаусса оказывается к середине стены, потому что очень редкие попадания в удаленные точки компенсируются гораздо бо́льшим числом попаданий в точки, расположенные ближе к центру.
Нет у распределения Коши и стандартного отклонения. При этом отсутствие у него стандартного отклонения отличается от его отсутствия у одного Эйнштейна. На самом деле было бы точнее сказать, что у Эйнштейна есть стандартное отклонение, но оно равно нулю и, следовательно, не поддается разумной интерпретации. Распределение Коши не имеет стандартного отклонения в том смысле, что не существует столь большого числа измерений, которое позволило бы определить типичное отклонение попаданий от середины. Во всех явлениях, которые хорошо моделируются распределением Коши, стандартного отклонения не имеет не только единственный и неповторимый Эйнштейн; оказывается, что его не имеет и все население.
Концепция Коши приводит к дикому миру, в котором нельзя даже говорить о таких «очевидных» вещах, как типичное отклонение от типичного значения, — потому что ничего такого не существует: ни типичного значения (математического ожидания), ни типичного отклонения. Невозможно сказать, что является «средним». Если вам нужно среднее, вам придется оставить мир Коши и вернуться в безопасный и тихий мир Гаусса.
Поэтому можно сказать, что математика Тихонии происходит от Гаусса, а математика Диконии — от Коши. То, что редкость в Гауссовой Тихонии, может быть делом сравнительно обычным в Диконии Коши — например, выстрелы, поражающие цель далеко за пределами нашего поля зрения. Если бы человеческий рост был распределен по Коши, время от времени появлялись бы люди, рост которых доходил бы до пяти, десяти и даже тысячи метров. Во всех остальных отношениях эти люди были бы такими же, как мы, но только выросшими по случаю чрезвычайно высокими — так же как Фиби по случаю стреляет почти параллельно стене. В части III этой книги мы увидим, как распределение Коши привело к открытию некоторых странных законов Диконии.
Природа не терпит пустоты
Я оставил без ответа вопрос о том, следует ли считать гения чудом или просто человеком необычайно талантливым. Сделан ли он (сделана ли она) из того же материала, что и любой другой одаренный индивидуум? Возвращаясь к нашей метафоре, является ли гений попросту проявлением выстрела, который Фиби делает почти параллельно стене? Когда мой друг Алекс сказал, что то, что кажется чудом мне, может не казаться таковым человеку, гораздо более талантливому, он мог бы добавить: «Поскольку ты находишься сравнительно близко к середине, ты видишь не очень далеко, но человек, оказавшийся на большем расстоянии от нее, может видеть дальше; возможно, такому человеку может быть видно, что гения создал тот же стрелок, который создал и всех нас».