Если вы — самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно.
В этой книге я пишу об идеях Курта Гёделя уже в четвертый раз. Каждый раз я писал о них по разным причинам. Хотя математическое содержание теоремы Гёделя не изменилось, следствия из нее настолько глубоки, что я снова и снова возвращаюсь к ней.
В книге «Способы мышления» (Ways of Thinking) я использовал теорему Гёделя, чтобы показать, что у того, чего можно достичь чисто рациональным мышлением, неизбежно существуют некоторые пределы, и для выхода за эти пределы необходима некая особая уловка. Этой уловкой оказалась человеческая интуиция. В книге «Этические расчеты» (Moral Calculations) я писал о концепции сотрудничества. Это, на вид такое простое, понятие оказалось на удивление трудно — на самом деле невозможно — определить. Как ни определяй поведение, основанное на принципах сотрудничества, всегда можно применить методику, разработанную Гёделем, и сконструировать такую коллективную игру, в которой все игроки неизбежно проигрывают, если неуклонно придерживаются сотрудничества в соответствии с этим определением, а различные стратегии, не предполагающие сотрудничества, позволяют всем выиграть. Таким образом, бесспорного, всеобщего и окончательного решения задачи о сотрудничестве быть не может. В книге «Эволюция денег» (The Evolution of Money) я доказывал, что методика Гёделя не только дает возможность вывода его радикально новаторской теоремы в области логики, но может быть использована и для описания корневого механизма дарвиновской эволюции, который, в свою очередь, можно применить к эволюции биологической, к эволюции идей (мемов) и к эволюции экономической (денег и капитала). Следовательно, Гёдель открыл нечто гораздо большее, нежели изящный и действенный математический метод; его открытие оказывается природным механизмом, лежащим в основе самых разных явлений.
Теперь же идея Гёделя покажет нам, почему помимо редких явлений дикого мира, подчиняющегося закону Коши, могут существовать и другие типы чудес. А когда мы дойдем до IV части книги, гёделевская точка зрения также поможет нам понять, почему мы говорим об одних типах поведения и отношений и не говорим о других, а также подготовить нас к чудесам, которые встретятся нам в будущем.
Теорема Гёделя
В 1931 году Курт Гёдель опубликовал в немецком журнале Monatshefte für Mathematik und Physik статью «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I). Теорема VI этой статьи, прославившаяся впоследствии под названием первой теоремы Гёделя о неполноте, была сформулирована следующим образом:
Для каждого ω-непротиворечивого рекурсивного класса формул k существует такая рекурсивная классовая формула, что ни ∀ (ν, r), ни ¬∀ (v, r) не принадлежат к Flg (k), где ν — свободная переменная r[26].
Гёдель исходно сформулировал это утверждение по-немецки, но я могу вас заверить, что для немецкоязычного читателя-неспециалиста оно было ничуть не более понятным, чем для нас в переводе. В переложении на обычный язык теорема утверждает приблизительно следующее:
Любая математическая система, которая 1) основана на конечном числе аксиом (утверждений, принимаемых без доказательства), 2) построена строго формальным образом, 3) содержит аксиому, предполагающую существование бесконечной последовательности натуральных чисел (причем ноль считается натуральным числом, и за каждым натуральным числом идет следующее), и 4) не содержит противоречий (в том смысле, что в рамках этой системы невозможно доказать как некоторое утверждение, так и утверждение, обратное ему), заведомо содержит такие утверждения, которые можно точно сформулировать в рамках этой системы, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Теорема Гёделя о неполноте чрезвычайно сильно потрясла математиков и логиков. В течение двух с половиной тысяч лет — с самого момента появления математики в современном смысле этого слова — математики твердо верили, что любое математическое утверждение, которое можно ясно и точно сформулировать, рано или поздно можно будет доказать либо опровергнуть, используя формальные методы математической дедукции. Нужно только быть достаточно умным — и доказательство найдется. Но Гёдель разбил эту мечту вдребезги. Он показал, что существуют такие математические утверждения, которые никто, как бы умен он ни был, никогда не сможет ни доказать, ни опровергнуть.