Пересечением (или умножением) классов называется новый класс, который содержит в своем составе те и только те элементы, которые входят в каждый из отдельных классов. Иначе говоря, он содержит элементы, общие всем отдельным классам. Поэтому сама операция пересечения классов иногда называется взятием их общей части. Обозначив отдельные классы через A1, А2, А3,..., Аn, их пересечение можно представить в виде: ∧Ai = A1, ∧А3,..., ∧Аn, где знак ∧ обозначает операцию пересечения, умножения или конъюнкции классов.
Под обобщением понятий подразумевается операция перехода от понятий меньшего объема к понятиям большего объема, а под ограничением - обратный процесс перехода от понятий большего объема к понятиям меньшего объема. Однако в отличие от предыдущего случая отношений понятий с фиксированными объемами, при обобщении и ограничении понятий происходит также изменение содержания понятий, поскольку при обобщении некоторые признаки исключаются, а при ограничении, наоборот, прибавляются. Это непосредственно следует из закона обратного отношения между объемом и содержанием понятия.
Обобщение понятий неразрывно связано с процессом абстрагирования, в результате чего отвлекаются от тех признаков, которые в ходе познания оказываются несущественными, и потому опускаются. Процесс ограничения связан с противоположным движением мысли, который называется конкретизацией, или точнее спецификацией. Только благодаря конкретизации общие понятия можно применять для исследования частных случаев.
Наиболее ясно обобщение и ограничение понятий прослеживается в математике, причем в чистой, (теоретической) математике преобладает процесс обобщения понятий, а в приложениях математики - их конкретизация.
Хотя с логической точки зрения такие обобщения понятий представляются вполне ясными и даже очевидными, но исторически новые понятия и основанные на них теории находили признание не сразу, не без борьбы мнений и конфликтов. Достаточно лишь отметить, например, с какими трудностями ученые столкнулись при обобщении понятия числа и введении понятий иррациональных и мнимых чисел, а в недалеком прошлом - понятий о неевклидовых пространствах и бесконечных множествах. В неменьшей степени конфликты сопровождали обобщения и введение новых понятий в астрономии мира, например, гелиоцентрической системы мира (вместо геоцентрической птолемеевой системы мира), в физике, биологии и других науках.
2.2. Определение понятий. Их основные виды
Существуют самые разнообразные способы определения понятий, которые ориентированы на потребности исследования разных наук, но все они ставят своей целью:
1) четко отделить класс предметов определенного типа от других;
2) выявить их специфическое содержание, т.е. совокупность существенных признаков, которые присущи их элементам.
Достижение второй цели представляет наибольшие трудности, поскольку раскрытие существенных признаков предметов - процесс длительный, исторический. Сущность не лежит на поверхности наблюдаемых явлений, она постигается в результате глубокого и всестороннего их познания. При этом за сущностью первого уровня скрывается сущность второго уровня и так до бесконечности.
Кроме того, при определении понятий приходится иметь дело с существенными признаками разного рода, например, для геометрии существенными являются пространственные формы мира, для химии - состав исследуемых веществ и их превращения в результате химических реакций, для экономики - производственные отношения людей. Поскольку в различных областях познания и практической деятельности преследуются разные цели, целесообразно применять разные способы определения понятий.
С помощью определения мы ограничиваем класс рассматриваемых объектов и, следовательно, указываем границы применения вводимого понятия, а тем самым и раскрываем специфику понятия как особой формы мышления. Область применения понятия устанавливается с помощью объема понятия, который в свою очередь зависит от содержания, т.е. от совокупности его существенных признаков. Таким образом, в определении содержание и объем понятия выступают в неразрывном единстве.
В каких случаях возникает необходимость в определении понятий?
1. Уточнение и определение понятий необходимо в любом процессе доказательства и аргументации вообще. Математическое доказательство, как известно, опирается не только на аксиомы, но и на первоначальные, исходные понятия, которые считаются известными и принимаются без определения. Все другие понятия должны быть определены с помощью исходных понятий. Необходимо иметь в виду, что даже в самой строгой и точной науке все определить невозможно, ибо в противном случае одно понятие будет определяться через другое, а оно в свою очередь через третье и так до бесконечности. Чтобы исключить такой регресс в бесконечность, следует прервать процесс определения в каком-то месте и принять некоторые понятия как исходные, не требующие определений. Обычно такие понятия хотя и не определяются, но поясняются: например, понятия числа в арифметике, прямой, точки и плоскости - в геометрии, полезности - в экономике, справедливости — в социологии и т.д. В процессе аргументации, когда мы стремимся убедить кого-то в чем-то, также приходится постоянно уточнять понятия, поскольку именно расхождения в содержании или смысле терминов и слов, а особенно замена понятий метафорами и сравнениями, вызывает многочисленные споры.