Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то получится истинное высказывание "Иванов - студент". Итак, одни значения переменных удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т.е. в первом случае они превращают их в истинные, во втором - в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными высказываниями.
Отсюда легко дать определение пропозициональной функции, под которой мы будем понимать любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных превращают выражение в конкретное высказывание.
Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.
Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых, придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение
x + у = у + x
можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных х и у взять определенные числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные кванторами, которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем записать его в следующей форме:
(х)(у)(х + у = у + х),
где (х) и (у) обозначают кванторы общности, которые часто называют также универсальными кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный (переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от перестановки слагаемых.
С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин "универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области, например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все высказывания имеют универсальный характер. Например, формула х + у = 5 удовлетворяется только при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда х = 1 и у = 4, или х = 2 и у = 3, или х = 3 и у = 2, или х = 4 и у = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству х + у = 5. Вместо слов " существуют числа х и у" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно представить в такой символической форме:
(Ех) (Еу) (х + у = 5),
где (Ех) и (Еу) - кванторы существования.
В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения оцениваются как истинные или ложные.
Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные высказывания.
Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.
Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.