Существует два принципиально отличных способа задания универсума рассуждения, первый из которых состоит в систематическом перечислении всех тех объектов, которые составляют класс объектов, характеризуемых данным свойством или отношением. Очевидно, что такой универсум должен быть конечным множеством. Однако в научном познании приходится иметь дело не только с конечными, но и бесконечными множествами объектов. Например, в математике уже натуральный ряд чисел является бесконечным множеством, поскольку к любому, сколь угодно большому натуральному числу можно прибавить единицу и тем самым неограниченно продолжать этот процесс. При формулировании научных законов также часто приходится обращаться к бесконечному множеству объектов. Так, в законе всемирного тяготения Ньютона утверждается, что два любых тела притягиваются друг к другу с гравитационной силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При этом предполагается, что количество таких тел во Вселенной бесконечно много. Очевидно, что поскольку бесконечное множество нельзя задать с помощью конечного списка его элементов, то приходится для этого обращаться к некоторому общему правилу или закону образования его элементов. Например, зная, что четными называются числа, делящиеся на 2, всегда можно определить, является ли рассматриваемое число четным или нечетным.
Таким образом, для определения универсума рассуждений требуется ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект множеству, представляющему универсум или нет.
Хотя в принципе, если свойство или отношение сформулированы достаточно ясно и четко, установить универсум можно, но на практике сделать это бывает трудно из-за неопределенности критериев разграничения множеств объектов. Порой бывает, например, нелегко ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект к множеству растений или животных, металлов или металлоидов, устойчивых или неустойчивых систем, когда заходит речь о переходных, промежуточных явлениях.
Но в большинстве случаев при наличии предиката, выражающего свойство или отношение, можно всегда установить его универсум, или, как предпочитают говорить математики, область значений переменных пропозициональной функции, которую называют областью определения функции. Если эта область точно не установлена, то пропозициональная функция при подстановке на место аргументов конкретных объектов превращается в бессмысленную фразу, а не осмысленное высказывание - истинное или ложное. Нередко бывает так, что функция оказывается неопределенной в некоторой области значений. Например, в математике говорят, что уравнение х2 + 1=0 не определено в области действительных чисел, ибо имеет мнимый корень. Чтобы гарантировать точность рассуждений, в математике и логике ясно и однозначно определяют ту предметную область, к которой относятся переменные пропозициональных функций или предикатов.
В простейшем исчислении предикатов, которое называют также узким или исчислением предикатов первой ступени, в качестве значения переменных будут рассматриваться индивиды или объекты. Но можно в качестве значений переменных брать также предикаты, связанные кванторами. Такое исчисление называют исчислением предикатов второй ступени. Дальнейшие обобщения приводят к исчислениями предикатов высших ступеней.
Так же, как и в исчислении высказываний, мы будет предполагать, что высказывание Р(х,у), получаемое при любой паре значений из области ее значений, может быть либо истинным, либо ложным. Другими словами, в исчислении предикатов, как и в исчислении высказываний, выполняется закон исключенного третьего. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, сама процедура получения значения истинности сложного высказывания, состоящего из элементарных высказываний, значительно усложняется: ведь в таком случае с ним приходится соотносить не один, а пару, тройку или вообще n-ку объектов из области значений переменных.
4.2. Кванторы
Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Уже в традиционной логике суждения классифицировались не только по качеству, но и по количеству, т.е. общие суждения отличались от частных и единичных. Но никакой теории о связи между ними не было. Современная логика рассматривает количественные характеристики высказываний в специальной теории квантификации, которая составляет неотъемлемую часть исчисления предикатов.