x ∈ К,
где х - обозначает элемент;
К - класс таких элементов;
символ " ∈ "обозначает принадлежность элемента классу.
Эти соображения лежат в основе современного подхода к силлогистике, при котором рассуждения о свойствах заменяются рассуждениями о классах, а точнее, об объемах понятий классов.
Рассмотрим в этих целях основные отношения между классами, но предварительно введем некоторые новые понятия. Если каждый элемент класса K1 есть одновременно элемент класса К2, тогда класс K1 есть подкласс класса К2. Символически: K1 ⊂ К2 или К2 ⊃ K1. Говорят также, что класс K1 входит или включается в класс K2. Отношение включения обозначается символом "⊂".
Может случиться, что элементы одного класса будут элементами другого класса, а элементы последнего - элементами первого, т.е. если К1 ⊂ К2 и К2 ⊂ К1 , тогда К1 = К2.
Очевидно, что каждый класс может рассматриваться как подкласс самого себя, но в таком случае он представляет мало интереса, и поэтому такой подкласс называют несобственным. В отличие от этого собственным подклассом (частью класса) называют множество элементов, которые одновременно принадлежат обоим классам, причем элементы подкласса составляют лишь часть элементов класса.
Отношения между классами характеризуются следующими основными законами:
1. Для всякого класса К К ⊂ К.
2. Если K1 ⊂ К2, а К2 ⊂ К1, то К1 = К2.
3. Если К1 ⊂ К2, а К2 ⊂ К3, то К1 ⊂ К3.
4. Если К - не пустой подкласс класса L, и если классы L и М раздельны, то классы А и М также раздельны.
Первый из законов называется законом рефлексивности отношения включения, второй - законом тождества, третий - законом транзитивности, четвертый - характеризует взаимоисключение или раздельность подклассов, что наглядно видно на рис. 12.
Перечисленные законы вместе с некоторыми другими положениями составляют группу законов категорического силлогизма.
Отсюда можно заключить, что силлогистика, а также традиционная логика, основывающаяся на ней, может быть сведена к теории отношений между классами. Легко убедиться, что два произвольных класса К1 и К2 могут находиться друг к другу в следующих отношениях:
1) классы могут быть тождественными, т.е. К1 = К2;
2) класс K1 может быть собственным подклассом К2, т.е. К1 ⊂ К2;
3) классы K1 и К2 частично совпадают или пересекаются;
4) классы К1 и К2 взаимно исключают друг друга или раздельны.
Такой переход от рассмотрения отношений между свойствами предметов к анализу отношений между классами предметов, обладающих этими свойствами, значительно облегчает исследование и, что особенно существенно, сводит традиционную силлогистику к теории отношений между классами. Отношения же между классами можно свести к исчислению одноместных предикатов. Для иллюстрации рассмотрим силлогизм модуса "Barbara", который в общем виде формулируется так: "Все М есть Р. Все S есть М. Поэтому все S есть Р", а символически записывается следующим образом:
(х) (М(х) → Р(х)), (х) (S(x) → М(х)) | = (х) (S(x) → Р(х)).
Предикаты, которые встречаются здесь, одноместные, выражающие отношение свойства к предмету. Современная же логика имеет дело с многоместными предикатами, характеризующими отношения между различными предметами. Отсюда становится ясным, что силлогистика составляет лишь небольшую часть логики предикатов. Поскольку, однако, силлогизмы формулируются на естественном языке, то они по-прежнему широко используются не только в повседневных, но и научных рассуждениях.
К несиллогистическим дедуктивным рассуждениям, которые изучались в традиционной логике и до сих пор часто используются на практике, относятся некоторые особые формы выводов. Большей частью они представляют собой комбинацию таких посылок, в которых категорические суждения объединяются с условными или с разделительными. Логически необходимый характер заключения в таких рассуждениях обеспечивается тем, что другие возможности вывода исключаются благодаря категорическому суждению.