Г.В. Лейбниц считал, что применение дедукции не должно ограничиваться рамками математики, а обязано охватить несравненно более широкую область знания и практического действия. В этих целях он намеревался построить универсальный символический язык или формальное исчисление, с помощью которого можно было бы свести любое содержательное рассуждение к вычислению. В таком случае, писал он, двум ученым не придется больше бесконечно спорить. Вместо этого они возьмут перья в руки, сядут за счетные доски и скажут друг другу: "будем вычислять". Такая программа, как показали современные исследования, даже при новейших быстродействующих компьютерах не может быть реализована. Несмотря на это, идея о формализации дедуктивных рассуждений, применении языка символов и формул математики для анализа рассуждений оказалась в высшей степени плодотворной. Она положила начало возникновению символической (математической) логики (родоначальником ее по праву считается Лейбниц, но это произошло только в середине XIX века, а как самостоятельная наука математическая логика оформилась лишь в конце прошлого - начале нынешнего века.
С другой стороны, притязания индуктивной логики на роль логики открытия постепенно также выявили свою несостоятельность. С переходом науки от накопления к их теоретическому анализу, обобщению и систематизации эмпирических фактов становилось все более очевидным, что с помощью индуктивных методов можно открывать лишь простые эмпирические законы. Д.С. Милль, исправивший и систематизировавший индуктивные правила Бэкона, полагал, что с их помощью можно исследовать любые причинные зависимости между явлениями природы. В действительности же эти правила могут помочь обнаружить лишь самые простые причинные отношения. Открытие же подлинных причинных законов требует раскрытия глубоких внутренних механизмов, управляющих явлениями, а это неизбежно связано с переходом от эмпирического к теоретическому уровню познания, с использованием абстрактных понятий, выдвижением догадок и гипотез и последующей проверкой следствий из них на опыте. Поэтому в опытных науках все большую роль приобретает гипотетико- дедуктивный метод исследования.
Начало применения этого метода в науке связывают с именем Г. Галилея, который использовал его в своих исследованиях законов свободного падения тел. Отказавшись от умозрительных принципов аристотелевской физики, Галилей стал проверять свои гипотезы путем вывода из них следствий, которые можно было сопоставить с результатами экспериментов. В этих целях он начал проводить тщательные измерения и обрабатывать полученные данные математически. Так, по сути дела, возник экспериментальный метод в точном естествознании, подлинным триумфом которого стало открытие Ньютоном законов механики и всемирного тяготения.
Нетрудно заметить, что в гипотетико-дедуктивном методе органически сочетаются индуктивные и дедуктивные приемы исследования. Первые используются на первоначальной, эмпирической стадии познания, когда приходится анализировать факты, делать обобщения и т.п. Но для выдвижения гипотезы этого далеко не достаточно, так как при этом используются все другие интеллектуальные способности и средства: в первую очередь интуиция, воображение, аналогии и т.д., которые трудно поддаются логическому анализу. Дедукция же начинает применяться тогда, когда гипотеза будет сформулирована. Из нее затем по правилам дедуктивных умозаключений выводят следствия, которые сопоставляют с эмпирическими утверждениями (фактами, данными, свидетельствами и т.п.). Подтверждение или опровержение следствий данными опыта служит критерием для принятия или отказа от гипотезы.
Почти одновременно с утверждением гипотетико-дедуктивного метода в опытных науках в середине прошлого века начался новый этап в развитии дедуктивной логики. Он был связан с применением символических средств и математических методов для анализа дедуктивных выводов. Первые работы в данном направлении относились к использованию понятий и методов алгебры для анализа силлогизмов. Поэтому само это направление получило название алгебры логики (О. де Морган, Дж. Буль, У.С. Джевонс, Ч. Пирс, П.С. Порецкий, Э. Шрёдер).
Дальнейшее развитие математической логики было связано с переходом от изучения общелогических проблем к анализу математических рассуждений и доказательств. Первый крупный шаг был сделан выдающимся немецким логиком Г. Фреге, который с помощью созданного им формализованного языка показал, как можно осуществить тщательный анализ логической структуры рассуждения во всех его деталях. Другая, не менее важная цель Фреге состояла в том, чтобы свести формализованную им арифметику к символической логике. Но обнаружение Б. Расселом противоречия в системе Г. Фреге заставило его отказаться от завершения своей работы.