§ 13. Но и дедуктивные исследования не могут обойтись без индукции. Индукция не только ведёт к первоначальным догадкам относительно общих правил и законов, которые впоследствии обосновываются путём дедукции. Индукция ведёт к образованию тех понятий и определений, которые составляют основу и отправную точку дедуктивных наук и их дедуктивных выводов. Правда, в своей нынешней форме эти понятия, определения, аксиомы или постулаты могут показаться совершенно не зависящими ни от какого опыта и ни от какой индукции. Понятие геометра о точке, о прямой, о плоскости, о параллельных и т. д. может показаться существующим только в мысли геометра, но не в самой действительности. В действительности всякая прямая имеет не только длину, но также и ширину и высоту. В мысли геометра прямая имеет только длину. В действительности всякая точка есть весьма малое тело, т. е. так же, как и прямая, имеет и длину, и ширину, и высоту. В мысли геометра точка не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты и т. д.
И всё же, как бы значительно ни отличались понятия и определения математики от реальных предметов и отношений этих предметов в действительном мире, понятия и определения эти возникли некогда на основе опыта и выведенных из опыта обобщений. Конечно, понятие геометра о прямой не есть только понятие о пределе, к которому стремится начерченная на бумаге тушью прямая по мере того, как её ширина и высота становятся в руках искусного чертёжника всё меньшими и меньшими. Между самой «тонкой» и «низкой» прямой, проведённой на чертеже, и прямой, мыслимой геометром, т. е. имеющей только одну длину, имеется отличие, которого не заполнят никакие возможные в опыте приложения и переходы. Здесь мысль совершает переход, в результате которого появляется нечто новое, ни из какой индукции не выводимое.
Но если бы геометр не опирался на многочисленные наблюдения, которые показывают, что можно, не изменяя длины начерченной линии, изменять, а именно уменьшать, её толщину и высоту, если бы, кроме того, ему не приходилось задаваться относительно линии рядом вопросов, для решения которых не имеет значения ни высота, ни ширина её, но единственно только её длина, то никогда геометр не оказался бы в состоянии образовать в своём уме и при помощи своего воображения понятие о прямой как о линии, имеющей одну только длину. Индукция не может без помощи дедукции доказать ни одного положения в качестве положения безусловно достоверного, но самые понятия, лежащие в основе всех суждений дедуктивных наук, образуются из опыта и при посредстве индуктивных обобщений.
§ 14. Взаимная связь индукции и дедукции отчётливо выступает в сложных научных исследованиях. Исследования эти редко начинаются с точной формулировки закона. Обычно точной формулировке общего закона предшествует приблизительная, часто грубая и весьма неточная проба такой формулировки, основывающаяся на весьма ещё несовершенных индукциях, или выводах из частных случаев. Но и на этой стадии большую роль играют предвосхищение общей формулы и дедуктивные выводы из неё, которые указывают путь дальнейшему исследованию. Принимая свои приблизительные обобщения в качестве истины, исследователь извлекает путём дедукции выводы о том, как «предположенные им общие законы должны проявляться в других случаях, за пределами того, что уже известно из опыта. Получив эти выводы, исследователь вновь обращается к опыту, чтобы проверить, в какой степени следствия, выведенные им дедуктивно из добытого индукцией предположения, согласуются с действительными фактами.
До Галилея, например, физики, заметив, что вода поднимается в насосе, объясняли это явление тем, что природа якобы боится пустоты: по мере того как воздух выкачивается насосом, на место воздуха становится вода.
Галилей знал уже из опыта со стеклянной трубкой всасывающего насоса, что, как бы долго ни накачивали воду и как бы длинна ни была трубка насоса, поднятая насосом вода никогда не поднимается выше 32 футов. Этот установленный наблюдением факт внушил Галилею догадку, согласно которой «боязнь пустоты» не безгранична, но имеет предел. Ученик Галилея Торичелли совершенно отказался от предположения, будто природа боится пустоты. По его мысли, предел поднятия воды в насосе обусловлен тем, что на воду в трубке насоса давит земная атмосфера, имеющая ограниченную высоту над землёй и потому ограниченную тяжесть. Вес воды, поднятой до высоты 32 футов, равняется в точности весу столба атмосферы над поверхностью воды в сосуде, из которого накачивается вода в насос. Из этой догадки Торичелли сделал дедуктивный вывод. Если вес жидкости, поднятой в насосе, в точности должен быть равен весу столба атмосферы над поверхностью жидкости, то высота, на какую поднимается в каждом отдельном случае жидкость, очевидно, будет зависеть от удельного веса жидкости, взятой для испытания. Так, например, ртуть, которая почти в 14 раз тяжелее воды, очевидно, поднимется не на 32 фута, но всего лишь на 1/14 этой высоты, т. е. на 30 дюймов, так как столб ртути высотой в 30 дюймов весит столько, сколько столб , воды в 32 фута. И действительно, опыты, произведённые Торичелли, показали, что дедуктивный вывод, сделанный им из предположения Галилея, полностью оправдался: ртуть поднялась не выше 30 дюймов.