Придя к этой мысли, Лобачевский действительно развил эту систему геометрии. В геометрии Лобачевского вместо одиннадцатой аксиомы Евклида принимается другая аксиома. Согласно этой аксиоме, через точку С, лежащую вне прямой АВ, проходят две параллельные ей прямые КСК1 и LCL11. Каждый из равных острых углов DCK и DCL1 которые предположенные в геометрии Лобачевского параллели с двух сторон образуют с перпендикуляром CD, Лобачевский назвал углами параллельности в точке С относительно прямой АВ.
Лобачевский показал далее, что при исходных положениях, принятых им в качестве оснований новой геометрии, геометрия Евклида оказывается лишь частным случаем геометрии Лобачевского, а именно случаем, когда угол параллельности имеет постоянное значение и всегда равен прямому углу.
§ 38. Таким образом, аксиомы отнюдь не являются положениями очевидными в такой степени, чтобы очевидностью этой исключалась всякая возможность сомнения в их истинности и всякая необходимость требовать для них доказательства. Этим, между прочим, объясняется тот факт, что в истории математики крупнейшие учёные не раз пытались найти доказательства для некоторых аксиом. Так, философ Гоббс и философ-математик Лейбниц пытались — правда безуспешно — доказать аксиому о том, что целое больше своей части. К попыткам этого рода побуждает не только небезусловная очевидность аксиом, но также то, что при разработке математических наук всегда необходимо свести круг недоказуемых положений к возможно наименьшему числу. В сравнении с другими положениями аксиомы всё же являются наиболее очевидными утверждениями, так что усмотреть истинность аксиом легче, чем усмотреть истинность других положений, также обладающих очевидностью. Кроме того, от прочих очевидных положений аксиомы отличаются ещё тем, что они представляют наименьшую по числу совокупность положений, которые, будучи приняты данной наукой без доказательства в качестве исходных оснований этой науки, оказываются в соединении с определениями вполне достаточными для того, чтобы из них и из определений могли быть доказаны все прочий доложения науки, в том числе и некоторые положения, также обладающие очевидностью, но всё же доказуемые.
§ 39. Аксиомы иногда рассматриваются в качестве постулатов. Так называются положения, не доказываемые, так же как аксиомы, и составляющие вместе с определениями совокупность исходных оснований науки. Отличие постулата от аксиомы состоит только в том, что совокупность постулатов, полагаемых в качестве исходных оснований науки, устанавливается независимо от вопроса об их очевидности и с таким расчётом, чтобы принятые постулаты не противоречили друг другу и тем самым давали возможность развить из них также свободную от противоречий систему доказанных на их основе истин. Второе отличие аксиомы от постулата состоит в том, что аксиомы сравнительно с постулатами обладают большей общностью.
Наряду с аксиомами или постулатами в систему положений, принимаемых в качестве истинных, входят леммы. Леммой называется положение, относительно которого известно, что оно признано истинным в системе какой-либо другой науки и что оно применяется также в системе данной науки.
При этом истинность леммы может быть или непосредственно очевидной, или установленной в этой другой науке путём доказательства.
В системе физики леммами являются, например, все положения математики — независимо от того, рассматриваются они как аксиомы или же доказываются как теоремы.
Иногда различают теоремы и выведенные из них положения: следствия и дополнения. С точки зрения логики эти различия существенного значения не имеют.
§ 40. Не всякая попытка доказательства увенчивается успехом. В доказательствах, также как и в других видах логической деятельности мышления, возможны различные ошибки, лишающие доказательство его силы.
Так как всякое доказательство состоит из: 1) доказываемого тезиса, 2) оснований и 3) рассуждения, то возможные в доказательствах ошибки бывают: 1) либо ошибками относительно тезиса, 2) либо ошибками в основаниях, 3) либо, наконец, ошибками в рассуждении.